デルタ関数はステップ関数の微分として定義できるとおもいますが、そのまた微分はどういう関数になるのですか。
教えてください。またその高階微分もできたら教えてください、お願いします。

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A 回答 (2件)

δ関数は超関数であって、普通の関数ではないので、不連続でも超関数の意味での微分が定義できます。


きちんとした証明を書くと定義から始まってとても長くなるので、直感的な説明をします。
(1) δ関数のフーリエ変換を考えた方が、使い勝手は良いかも知れません。δ関数のフーリエ変換 F{δ} = Integral[-inf, inf]{ δ(x) exp(-iwx) dx} = 1 ですよね。またf(∞)=0, f(-∞) = 0であるような任意の関数fについて、 F{f’} = Integral[-inf, inf]{ f’(x) exp(-iwx) dx} = {1/(iw)}F{f} (部分積分) です。だからF{δ’} = {1/(iw)}F{δ} ですね。高階微分は「以下同様」です。
  (2)δ関数とは、何か別の関数f(x)と畳み込み積分(*: convolution)したときに δ*f= fとなる超関数です。具体的に作ると、たとえば g(x)=( x<-1なら0, -1>=x>=1なら1/2, x>1なら0) というのを考えて、{s g(x/s)}を作り、s->0にしたときの極限がδ関数。ここで、gはこれでなくても構わないので、たとえばGauss関数(正規分布の形)をgとしてもよい。これでも{s g(x/s)}を作り、s->0にすればδ関数が得られます。
  (3) さてδ関数のn階導関数 δ[n] を考えるには、gとしてGauss関数を使った方が、何回でも微分できるので一貫性がある。δ[n]はgのn階導関数g[n]に対して{s g(x/s)}を作り、s->0をやれば得られます。
  (4) ところでδ[n] (n=0,1,2,...)はいずれもx=0以外では0になります。それなのにどれも別の関数です。δ[n]はnが偶数だと偶関数、nが奇数だと奇関数です。超関数はグラフの上では区別できないけれどいろんな奴があるということですね。
  (5) δ関数のn階導関数 δ[n] は δ[n] *f= f[n] となる。ここにf[n]はfのn階導関数です。((1)でも出てきた部分積分を利用すれば、δ[n] *f = δ*f[n] = f[n]が示せる。)つまりδ[n]を畳み込み積分するとはfをn階微分するのと同じ事です。{δ[n] *}を微分演算子と捉える考え方もあるのです。
  (6) 直感的にδ’を作ってみましょう。まず奇関数h(x):h(x) = (x>1 なら0, 1>=x>0なら1, x=0なら0)を考える。h(-x) = -h(x)です。これを不定積分したものをg(x)とすると
g(x)=Integral{h(x) dx} =「 (x>1なら0, 1>=x>=0なら1-x)という偶関数」です。これは(2)で出てきた奴。だから、{s g(x/s)}を作り、s->0にすればちゃんとδ関数になることが確かめられました。このhを使って、{s h(x/s)}を作り、s->0にしたやつ。これがδ’ですね。
  (7)超関数の定義の仕方はいろんなのがあります。本当は混ぜて使ってはいけないのでしょうが、実用上、その時々で都合のいい考え方に乗っかるのが便利です。実際、δ関数を(1)では定数関数f(x)=1の逆フーリエ変換として、(2)と(7)では三角形の関数の列の極限、(3)ではGauss関数の列の極限として扱っています。δ関数を扱いかねたときには、(2)や(7)の考え方が分かりやすくて良いです。
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デルタ関数δ(x) x=0以外では値は0, 0の時は無限大(?)


で0を含む区間で積分した時に有限の値を持つ
という関数でいいのでしょうか?

一般にある関数に必ず微分関数が存在するとは限りません。
滑らかな連続関数の場合には必ず存在することがわかっていますが。

δ関数の場合、x=0以外では、連続かつなめらかなので
微分関数y=0; ただしx=0を除く。
肝腎のx=0では「微分可能でない」(微分が存在しない)と思いますが
いかがでしょうか?
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Qデルタ関数の微分は?

デルタ関数を微分した場合、どのような数式で表現されるのでしょうか?

Aベストアンサー

デルタ関数の微分表記はkeyguyさんが書かれている通りで付け加えるならばδ'(x)=-δ’(-x)でしょうか。
δ関数を微分するにはδ関数をFourie変換
  δ(x)=(1/2Π)∫[-∞,+∞]exp(ik・x)dk
してから微分するというやり方もありますが、δ関数の微分を次のように定義することもできます。
<定義>
任意の関数g(x)について積分区間(a,b)内にyが含まれるとき、次式が成り立ちます。
∫[a,b]g(x)δ(x-y)dx=g(y)  (1)
これをyについて微分すれば
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=dg(y)/dy  (2)
ここで寄り道して、z=x-yの関数f(z)を考えますと
∂f/∂x=(∂z/∂x)(df(z)/dz)=df(z)/dz  (3)
∂f/∂y=(∂z/∂y)(df(z)/dz)=-df(z)/dz  (4)
となりますね。(3)(4)の結果を使うと(2)の左辺は
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=-∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂x}dx (5)
となります。ここで x→x-y と積分変数を変換すると
d(x+y)=dxより
「δ(x)の微分とは、任意の関数g(x)と(a,b)内のyについて
dg(y)/dy=-∫[a,b]g(x+y)(dδ(x)/dx)dxとなるもの」
というように定義することができます。注意すべきはa=-∞、b=+∞の場合であれば無視しても構わないですが、厳密には変数変換により積分区間がずれることに注意が必要です。以上の展開は嘗て小生がμさん(http://favorite.jp/)に教えていただいたものの受け売りです(笑い)。
(P.S)
δ関数の微分を具体的にどのようなシーンで使われるのか分かりませんが、例えば荷電粒子の連続の方程式を計算する場合などにはでてきます。その際の具体的計算は
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Chap2-1-2.htm
に載っています。ご参考まで。

デルタ関数の微分表記はkeyguyさんが書かれている通りで付け加えるならばδ'(x)=-δ’(-x)でしょうか。
δ関数を微分するにはδ関数をFourie変換
  δ(x)=(1/2Π)∫[-∞,+∞]exp(ik・x)dk
してから微分するというやり方もありますが、δ関数の微分を次のように定義することもできます。
<定義>
任意の関数g(x)について積分区間(a,b)内にyが含まれるとき、次式が成り立ちます。
∫[a,b]g(x)δ(x-y)dx=g(y)  (1)
これをyについて微分すれば
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=dg(y)/dy  (2)
ここで寄り道して、z=x-y...続きを読む

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

Q物理学を学んだ学生の就職について

物理学を学んで修士課程を終えたとして就職でどうのような選択肢がありますか?

Aベストアンサー

buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を卒業する場合には、勉強した「知識」をそのまま使って企業で活躍するというセンスよりも、むしろ、そこで習得した「能力」を生かすというセンスだからです。逆にもし工学部を卒業しても、そこで学習した知識がそのままどんぴしゃで企業でも使えるケースは珍しいようです。

また、物理の中での理論と実験の違いですが、私の知る限り、理論だと実験よりも会社には不利ということはないと思います。それには二つ理由があります。一つは現代の産業の現状は、IT系に重点が移ってきていて、理論系なら殆どの場合コンピューターをかなり使いますので、その面でかえって有利であること。もう一つは測定器や作業機械の使い方などは、実験系だからといって同じ機械を使うとは限りませんし、どちらにしても入社後に勉強するケースのほうが多いと思われるからです。

企業の中で、理学部出身の人が工学部出身の人よりも少ない主な原因は、日本中で工学部の定員が非常に多いことでしょう。私の見る限り、卒業生が就職で苦労するケースは、分野というよりも、むしろ個々人のパーソナリティに依ることが多いように思われます。企業では周りの環境に柔軟に順応してくれる人、しっかり意思疎通の出来る人を好むでしょうし、当然、企業の利益にかなわないことをしたいという人は、どんな学部の卒業生でも取らないでしょう。


次に具体的な現状を書きます。どこの大学とは、もちろんここでは書けませんが、卒業生の就職先はやはりIT係を中心に製造業が多いです。それは元々日本の産業構造自体がIT係に重点が移ってきているためだと思います。一言にIT係といっても、かなり幅が広いですし、IT係以外の製造業も多いです。どんな製造業でも最近はコンピューターはかなり使うと思われます。

製造業の中には当然、民間企業の研究所に就職するケースもあります。民間企業の研究所では、ごく一部の例外を除いて、その企業の利益に直結することを研究します。その内容は、物理学に基礎を置いた研究もありますし、物理学とは直接の関係のない研究をすることもあります。物理の卒業生はどちらの方向にも進んでいます。ただし「直接の関係のない」と言っても、物理はあらゆるものの基礎になりますから、殆どのものは何らかの関係はあります。

次に多いのは、公務員や中学高校教諭だと思います。その場合は、もちろん、公務員試験の勉強や、教員免許をとり教員採用試験の勉強をする必要があります。

製造業に比べれば、数は少なくなりますが、商社や金融関係に就職した人もいます。また特殊な例ではパイロットになった人もいます。


せっかく物理学を勉強したのに、就職した後に直接に関係のないものをやるのは勿体ないとか、しんどいとか思われるかもしれません。しかし、ANo.3さんも書かれているように、物理学というのは、あらゆる学問や科学技術の基礎であり、また、知識そのものを使わなくても、物理学を学ぶ過程で習得した「現実に根ざした論理的思考」というのは、どんな分野にも共通に必要なものなのです。ANo.4さんも書かれているように、「仮説・検証・修正」という物理学の方法は、あらゆることに適用が可能です。

また、「知識の陳腐化」ということがあります。技術というものは日進月歩ですから、大学でどんな分野の学問をした場合でも、どのみち入社後にも勉強をし続けていかないといけません。しかし理学系と工学系の違いは、理学部で勉強したことは、時間が立って成り立たなくなるようなことではないというところです。物理で言えば、力学や電磁気学などの知識が陳腐化することは未来永劫ありません。それらは自然界の法則だからです。ところがある特定の「技術」というものは、多くの場合数年で陳腐化してしまいます。

さらに、逆に基礎的な知識が必要になったときに、技術だけを学んでいた人が基礎に立ち戻って勉強しなおすのは、大変なエネルギーが必要になります。一度でも基礎を十分に勉強したことがある人は、忘れてしまっていても、少し勉強すれば思い出すことができます。基礎をしっかり勉強した上に応用を勉強するほうが、応用だけを勉強しているより安心です。

これは教育関係に進む場合も同様だと思います。やはり理学部でしっかりその分野の内容を勉強しつつ教員免許も取るほうが、教育学部で教員免許をとるよりも好ましいと、個人的には思っています。(両方やるのは確かに大変ですが。)


最後に、修士課程に進むメリットについて付け加えます。学部で、およそ力学、電磁気学、量子力学、熱統計力学を学習するわけですが、それは学問の基礎の部分です。卒業研究~修士課程で、研究(らしきもの)に手を染めることにより、その基礎部分の知識の本当の意味が、より正しく深く理解できます。また、現実の問題を考えることにより、「問題解決能力」も身につけることができます。研究の世界では必要に応じて問題を自分で整理して設定する能力が求められます。誰かがきれいに作った問題を解くだけの話ではなくなってくるのです。そのような能力はどんな分野に就職しても必要とされるものです。大学院ではその部分も学ぶことが出来るはずです。

buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を...続きを読む

Qデルタ関数のポテンシャル

シュレーディンガーの式
[-(h^2/2m)(d^2/dx^2)+Vδ(x)]ψ(x)=Eψ(x)・・・★
の解のx=0での接続条件はどのように求めたらよいのでしょうか?

★の両辺を-εからεまで積分し、ε→0とすれば・・・、のような事をやれば、
ψ(+0)=ψ(-0)
ψ'(+0)-ψ'(-0)=αψ(0)
という感じになったと思うのですが、どうも上手くいきません。


1.∫[-ε→ε]d^2ψ/dx^2 dx =ψ'(+0)-ψ'(-0)となる理由
(結論を見る限り、d^2ψ/dx^2はx=0で(δ関数的に?)発散していますが、この場合にも微積分学の基本定理は成り立つのでしょうか?)

2.∫[-ε→ε]Eψ(x)dx=0となる理由
(要するに、ψがx=0で有限である理由です。ポテンシャルがδ関数で発散しているので、ψもx=0でおかしなことになっていない保証はない気がするので)

3.ψ(+0)=ψ(-0)となる理由
(もう一度何かを積分すれば導けた記憶はあるのですが)

の3つが分かれば、問題ないと思います。

シュレーディンガーの式
[-(h^2/2m)(d^2/dx^2)+Vδ(x)]ψ(x)=Eψ(x)・・・★
の解のx=0での接続条件はどのように求めたらよいのでしょうか?

★の両辺を-εからεまで積分し、ε→0とすれば・・・、のような事をやれば、
ψ(+0)=ψ(-0)
ψ'(+0)-ψ'(-0)=αψ(0)
という感じになったと思うのですが、どうも上手くいきません。


1.∫[-ε→ε]d^2ψ/dx^2 dx =ψ'(+0)-ψ'(-0)となる理由
(結論を見る限り、d^2ψ/dx^2はx=0で(δ関数的に?)発散していますが、この場合にも微積分学の基本定理は成り立つのでしょうか?)

2...続きを読む

Aベストアンサー

確かにeaternさんの疑問は誰もが感じる(べき)正しい疑問だと思います。つまりこういった異常なポテンシャルを持つ問題は取り扱いが難しいことが知られています。
私が学部でポテンシャルによる散乱問題を習った時には、問題を解く時の理論的なよりどころは連続の方程式だと習ったと覚えています。そのことは確かシッフの教科書にも議論があったと思います。(卒業の時に後輩にあげたので量子力学の教科書が手元にありませんので確認できませんが)

よって波動関数が連続である必要はまったく無いと思います。しかし大抵の教科書では簡単化のためといって、波動関数の連続性を”仮定”します。一般にはこういった異常なポテンシャル問題は量子力学的意味のある系かどうか自明でありませんから、取り合えず意味のある答えがあるかどうか計算してみようよというくらいの態度だと私は考えています。取り合えずその仮定を受け入れたします。

(1)φ(+0)=φ(-0)を仮定として受け入れる。

すると以下の事が導けます。

(2)∫dx d/dx(dφ/dx)=∫d(dφ/dx)=[dφ/dx]_{-0→+0}
=dφ(+0)/dx-dφ(-0)/dx


(3)一方でd/dx(dφ/dx)=(αδ(x)-E)φですから、0を含む微小領域[-ε,+ε]で積分してεをゼロにすると

∫dx(αδ(x)-E)φ=αφ(0) -Eφ(0)*2ε=αφ(0)

なので

dφ(+0)/dx-dφ(-0)/dx=αφ(0)

が導けます(Eも定数としましたが、これも必要ないかもしれません)。

(3)を際に波動関数が[-ε,+ε]で連続だという事を仮定したのでエネルギーに比例した項の積分は積分領域の幅×原点での波動関数で近似しましたが、結局積分領域がゼロの極限をとるとゼロです。波動関数が連続であれば微分が飛んでいても積分に何の問題もありません。
これは積分領域をx<0, x>0に分けて考えれば直感的にも納得いくでしょう。関数が滑らかでないところで積分領域を分けて考えると積分は二つの領域の和です。

最終的には量子力学で使う積分、ひいては物理で使う積分はるベールグ積分の意味で定義されていると見なすべきでしょう。私は難しい事は知りませんが、とりあえずは関数が折れ線や、さらには飛びがあっても、それが一点で起こっている限り積分測度はゼロなので大丈夫だと思います。
一点の効果は積分に利きません。もしも一点から有限の値があるいう風に積分が定義されているなら、任意の線分に実数は無限に存在するので積分は全て発散してしまいます。

(2)を導く際に、dφ/dxが連続でないと言っておきながら、更にその微分を積分するのはOKかという疑問があるでしょう。一階微分の飛びは原点の一点に限られますから、その二回微分も原点では定義されていません。しかし二回微分の値など知らなくても、やはり積分領域をx<0、x>0の二つにわけて積分すれば問題ないことが理解されると思います。なぜならやはり積分測度がゼロだからです。

と大体数学的にはかなりいい加減説明ですが、物理をやる上ではこれくらいの理解で良いのではないでしょうか。気になる場合にはるベールグ積分を勉強することになるんでしょう(数学を勉強したからといって物理の全てを厳密な方法で理解できるかどうかは疑問です)。


最後に(1)の仮定ですが、これは必ずしも必要ではありません。なぜなら量子力学の要請は確立密度

j=-i(φ*∂φ-φ∂φ*)     (∂=d/dx)

が連続であればよいことだけですから。異常なポテンシャルを解析する方法にはいくつかあるでしょうが、最も物理的なのは有限なポテンシャルの極限としてそれらを理解する事です。δ(x)ポテンシャルの場合ならそれは[-ε/2,+ε/2
で高さεを持つ階段型ポテンシャルのε→0極限として理解するとか。こういう理解では通常波動関数は連続で微分が飛びます。

確かにeaternさんの疑問は誰もが感じる(べき)正しい疑問だと思います。つまりこういった異常なポテンシャルを持つ問題は取り扱いが難しいことが知られています。
私が学部でポテンシャルによる散乱問題を習った時には、問題を解く時の理論的なよりどころは連続の方程式だと習ったと覚えています。そのことは確かシッフの教科書にも議論があったと思います。(卒業の時に後輩にあげたので量子力学の教科書が手元にありませんので確認できませんが)

よって波動関数が連続である必要はまったく無いと思います...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

Qe^iθの大きさ

今日読んだ本に

絶対値(e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

と書いてありました。
オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか?
上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

Aベストアンサー

絶対値(e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

この部分は、実数rに対しては、|r|=√(r^2)となるのですが、
複素数cのたいしては、
|c|=√(c*(cの共役複素数))
となります。
(e^iθ)の共役複素数は(e^-iθ)ですから、

絶対値(e^iθ) =√((e^iθ)*(e^-iθ))=√(e^0)=√1=1
となります。

実数と複素数では絶対値の計算が少し異なります。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qデルタ関数について

デルタ関数δ(x)を-∞~∞まで積分すると1になるというのは分かるのですが、
デルタ関数の2乗を-∞~∞まで積分するとどうなるのでしょうか?
私の考えでは、δ関数はx≠0のとき0の値を持ち、x=0のとき∞の値を持つのですから、
δ関数を2乗しても∞の∞乗=∞で積分値は1のままなんじゃないかと考えました。
友人の考えは、x=0付近に幅h、縦1/hの長方形を考え、h→0としたのが
δ関数であるから、δ関数を2乗すると縦の長さが(1/h)^2=∞^2になり、
積分値も∞倍されるのではないかというものでした。
定義できない、計算できないのではないか、という友人もいましたが、
実際はどうなのでしょうか?
分かりにくい説明で申し訳ありませんが、ご存知の方ご教授下さい。

Aベストアンサー

とても良い質問ですね。

δ(x)・δ(x)は通常の乗法としては合理的に定義できません。(矛盾が生じます。)
「定義できない」が答えですので、その-∞~∞の積分も定義できません。

f(x)・δ(x) = f(0)δ(x) という式は、f(x)が x = 0 で正則でないと成り立ちません。f(x)がδ(x)の場合はx = 0 が特異点になっていますので、妥当ではありません。

一般に任意の特異関数あるいは超関数どうしの「積」は定義できません。定義できる場合は関数に条件がつきます。

δ(x - a)・δ(x) = 0 (aが0でない場合)は正しいです。

なお、超関数どうしの「積」として合成積(コンボリュージョン)* を採用すれば、任意の超関数g(x)について、g(x) * δ(x) = g(x) が成り立ちます。
これから、δ(x) * δ(x) = δ(x) となります。
「デルタ関数の2乗」は「積」を合成積で定義した場合に意味をもちます。(超関数どうしの合成積は通常の合成積と形式的には同じ式で定義できますが、誤解の生じないように一義的に決めるには特別の注意が必要になります。)

詳しくは 今井功『応用超関数論』I、II (サイエンス社)

合成積を「積」と考える超関数論は
ミクシンスキー『演算子法』2冊(裳華房)
吉田耕作『演算子法 一つの超関数論』(東京大学出版会)

とても良い質問ですね。

δ(x)・δ(x)は通常の乗法としては合理的に定義できません。(矛盾が生じます。)
「定義できない」が答えですので、その-∞~∞の積分も定義できません。

f(x)・δ(x) = f(0)δ(x) という式は、f(x)が x = 0 で正則でないと成り立ちません。f(x)がδ(x)の場合はx = 0 が特異点になっていますので、妥当ではありません。

一般に任意の特異関数あるいは超関数どうしの「積」は定義できません。定義できる場合は関数に条件がつきます。

δ(x - a)・δ(x) = 0 (aが0でない場合)は正し...続きを読む

Qデルタ関数の積は定義されませんが、変数が異なる時は

δ(x)の2乗などは、数学的に定義されないのは、知っています。
でも、量子力学の教科書には、(例えば、連続固有値の場合)

何とか=δ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)

というような記述があります。
この場合、変数が異なるので、かまわないのでしょうか?
それとも、数学的には、やはり誤っているのでしょうか?

Aベストアンサー

 #2です。ここでは1,2,3次元のδ関数を、δ1,δ2,δ3と書きます。

 確かにδ3=δ1^3なので、値も(考えたとして)違いますよね。δ3(0)=δ1(0)^3です。

 ええと、δ関数の開発経緯を言うと、

  δ3(r-r0)=δ1(x-x0)・δ1(y-y0)・δ1(z-z0)   (a)

が最初にあった訳ではないんです。とにかく最初は、3次元で#2の(1)と(2)を満たすものとして、δ3を考えました。ところが3次元の体積積分は累次積分として扱う事が多いので、δ3を累次積分用に分解できないか?、と考えた訳です。

 そこで、1次元で#2の(1)と(2)を満たすものとしてδ1を考えてみると、δ3とδ1の結果を比較して、形式的に(a)が言える事がわかりました。これは後に、数学的に基礎づけられます。δ3とδ1は、厳密には、関数として別物です。

 非常に乱暴に言うと、1次元の場合のδ関数の値は、特異点を含む無限小の1次元線素をdxとすれば、(1),(2)より、

  δ1・dx=1   (b)

を満たすものとして定義されます。(b)の言ってる事は、「δ関数の値を取るなら、常に線素とペアで使え」という事です。逆に言うと、δ3の値は、常に3重積分の中でしか意味を持たない、という事です(2重積分以下なら、無限大。4重積分以上なら0です)。

  δ3・dxdydz=(δ1・dx)・(δ1・dy)・(δ1・dz)=1・1・1=1  (b)

 直観的にδ関数は、何かの密度が1点に集中したものだ、というのはわかると思います。値δ1,δ2,δ3は、線密度,面密度,体積密度の単位を持ち、関数しては当然別物で、この順に「濃く」なります(←密度の定義です)。

 δ3はδ1の3乗分濃いんだけれど、dxの3乗分で薄めて使えばOKよ(^^)、というのが、(b)の言ってる事です。


 δ関数は、通常の微積操作などが全て可能なように、非常に巧妙に(実用的に)考えられたものです。実用的に使う事を目的として、δ関数はつくられました。

 #2さんの仰るように、まずδ関数の形式的操作に慣れる事を、おすすめします(^^)。

 #2です。ここでは1,2,3次元のδ関数を、δ1,δ2,δ3と書きます。

 確かにδ3=δ1^3なので、値も(考えたとして)違いますよね。δ3(0)=δ1(0)^3です。

 ええと、δ関数の開発経緯を言うと、

  δ3(r-r0)=δ1(x-x0)・δ1(y-y0)・δ1(z-z0)   (a)

が最初にあった訳ではないんです。とにかく最初は、3次元で#2の(1)と(2)を満たすものとして、δ3を考えました。ところが3次元の体積積分は累次積分として扱う事が多いので、δ3を累次積分用に分解できないか?、と考えた訳です。

 そこで、1次元で#2の(1)と(2)...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む


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