デルタ関数はステップ関数の微分として定義できるとおもいますが、そのまた微分はどういう関数になるのですか。
教えてください。またその高階微分もできたら教えてください、お願いします。

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A 回答 (2件)

δ関数は超関数であって、普通の関数ではないので、不連続でも超関数の意味での微分が定義できます。


きちんとした証明を書くと定義から始まってとても長くなるので、直感的な説明をします。
(1) δ関数のフーリエ変換を考えた方が、使い勝手は良いかも知れません。δ関数のフーリエ変換 F{δ} = Integral[-inf, inf]{ δ(x) exp(-iwx) dx} = 1 ですよね。またf(∞)=0, f(-∞) = 0であるような任意の関数fについて、 F{f’} = Integral[-inf, inf]{ f’(x) exp(-iwx) dx} = {1/(iw)}F{f} (部分積分) です。だからF{δ’} = {1/(iw)}F{δ} ですね。高階微分は「以下同様」です。
  (2)δ関数とは、何か別の関数f(x)と畳み込み積分(*: convolution)したときに δ*f= fとなる超関数です。具体的に作ると、たとえば g(x)=( x<-1なら0, -1>=x>=1なら1/2, x>1なら0) というのを考えて、{s g(x/s)}を作り、s->0にしたときの極限がδ関数。ここで、gはこれでなくても構わないので、たとえばGauss関数(正規分布の形)をgとしてもよい。これでも{s g(x/s)}を作り、s->0にすればδ関数が得られます。
  (3) さてδ関数のn階導関数 δ[n] を考えるには、gとしてGauss関数を使った方が、何回でも微分できるので一貫性がある。δ[n]はgのn階導関数g[n]に対して{s g(x/s)}を作り、s->0をやれば得られます。
  (4) ところでδ[n] (n=0,1,2,...)はいずれもx=0以外では0になります。それなのにどれも別の関数です。δ[n]はnが偶数だと偶関数、nが奇数だと奇関数です。超関数はグラフの上では区別できないけれどいろんな奴があるということですね。
  (5) δ関数のn階導関数 δ[n] は δ[n] *f= f[n] となる。ここにf[n]はfのn階導関数です。((1)でも出てきた部分積分を利用すれば、δ[n] *f = δ*f[n] = f[n]が示せる。)つまりδ[n]を畳み込み積分するとはfをn階微分するのと同じ事です。{δ[n] *}を微分演算子と捉える考え方もあるのです。
  (6) 直感的にδ’を作ってみましょう。まず奇関数h(x):h(x) = (x>1 なら0, 1>=x>0なら1, x=0なら0)を考える。h(-x) = -h(x)です。これを不定積分したものをg(x)とすると
g(x)=Integral{h(x) dx} =「 (x>1なら0, 1>=x>=0なら1-x)という偶関数」です。これは(2)で出てきた奴。だから、{s g(x/s)}を作り、s->0にすればちゃんとδ関数になることが確かめられました。このhを使って、{s h(x/s)}を作り、s->0にしたやつ。これがδ’ですね。
  (7)超関数の定義の仕方はいろんなのがあります。本当は混ぜて使ってはいけないのでしょうが、実用上、その時々で都合のいい考え方に乗っかるのが便利です。実際、δ関数を(1)では定数関数f(x)=1の逆フーリエ変換として、(2)と(7)では三角形の関数の列の極限、(3)ではGauss関数の列の極限として扱っています。δ関数を扱いかねたときには、(2)や(7)の考え方が分かりやすくて良いです。
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デルタ関数δ(x) x=0以外では値は0, 0の時は無限大(?)


で0を含む区間で積分した時に有限の値を持つ
という関数でいいのでしょうか?

一般にある関数に必ず微分関数が存在するとは限りません。
滑らかな連続関数の場合には必ず存在することがわかっていますが。

δ関数の場合、x=0以外では、連続かつなめらかなので
微分関数y=0; ただしx=0を除く。
肝腎のx=0では「微分可能でない」(微分が存在しない)と思いますが
いかがでしょうか?
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Qデルタ関数のフーリエ変換

デルタ関数をフーリエ変換するプログラムを作成したいと思っています。

フーリエ変換自体のプログラムは出来上がりました。(いくつかの計算例で確認しました。)

そこで質問ですが、デルタ関数はどのように入力すれば良いのでしょうか?

F( 1 )=大きな数字、
F( 2 以降) =0
でしょうか?

デルタ関数をフーリエ変換すると、『1』になるのを確認したいと思っています。

プログラム言語は『Fortran』を使用しています。
以上、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本物のデルタ関数は入力できません。
巾と高さの積が1になる擬似デルタ関数をいろいろ作って
変換してみるのがおもしろいと思いますよ。
擬似デルタ関数と離散フーリエ変換では予想と違うものが
計算されると思います。

Qデルタ関数の微分は?

デルタ関数を微分した場合、どのような数式で表現されるのでしょうか?

Aベストアンサー

デルタ関数の微分表記はkeyguyさんが書かれている通りで付け加えるならばδ'(x)=-δ’(-x)でしょうか。
δ関数を微分するにはδ関数をFourie変換
  δ(x)=(1/2Π)∫[-∞,+∞]exp(ik・x)dk
してから微分するというやり方もありますが、δ関数の微分を次のように定義することもできます。
<定義>
任意の関数g(x)について積分区間(a,b)内にyが含まれるとき、次式が成り立ちます。
∫[a,b]g(x)δ(x-y)dx=g(y)  (1)
これをyについて微分すれば
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=dg(y)/dy  (2)
ここで寄り道して、z=x-yの関数f(z)を考えますと
∂f/∂x=(∂z/∂x)(df(z)/dz)=df(z)/dz  (3)
∂f/∂y=(∂z/∂y)(df(z)/dz)=-df(z)/dz  (4)
となりますね。(3)(4)の結果を使うと(2)の左辺は
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=-∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂x}dx (5)
となります。ここで x→x-y と積分変数を変換すると
d(x+y)=dxより
「δ(x)の微分とは、任意の関数g(x)と(a,b)内のyについて
dg(y)/dy=-∫[a,b]g(x+y)(dδ(x)/dx)dxとなるもの」
というように定義することができます。注意すべきはa=-∞、b=+∞の場合であれば無視しても構わないですが、厳密には変数変換により積分区間がずれることに注意が必要です。以上の展開は嘗て小生がμさん(http://favorite.jp/)に教えていただいたものの受け売りです(笑い)。
(P.S)
δ関数の微分を具体的にどのようなシーンで使われるのか分かりませんが、例えば荷電粒子の連続の方程式を計算する場合などにはでてきます。その際の具体的計算は
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Chap2-1-2.htm
に載っています。ご参考まで。

デルタ関数の微分表記はkeyguyさんが書かれている通りで付け加えるならばδ'(x)=-δ’(-x)でしょうか。
δ関数を微分するにはδ関数をFourie変換
  δ(x)=(1/2Π)∫[-∞,+∞]exp(ik・x)dk
してから微分するというやり方もありますが、δ関数の微分を次のように定義することもできます。
<定義>
任意の関数g(x)について積分区間(a,b)内にyが含まれるとき、次式が成り立ちます。
∫[a,b]g(x)δ(x-y)dx=g(y)  (1)
これをyについて微分すれば
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx=dg(y)/dy  (2)
ここで寄り道して、z=x-y...続きを読む

Qデルタ関数に関する質問です:

最近ネット上と講義中によく
「デルタ関数」が見えます。
1. デルタ関数はどのような関数ですか。
2. どう使用しますか。

何卒、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電子に対してクーロンの法則を適用し、電子の数だけ足す必要があります。このとき個々の電子を扱うのではなく電荷密度の概念を用いると、計算の見通しが非常に良くなります。

 それで電磁気学の基本式は、電荷密度の概念に基づいて定式化されました。ところが個々の電子(密度でない電荷そのもの)を扱う必要も、やっぱりあるのですよ。しかし電子のような「点電荷」は電荷密度の概念上では、体積0に0でない電荷量が集中したものなので、点電荷の電荷密度は無限大になって、電磁気学の基本式の適用がかなり面倒になります。

 δ関数導入以前にはこういう場合、点電荷である電子の位置はとりあえず除外し、基本式から必要な解を求めていました。でも解の原因である電子を考慮に入れていないので、この解には不定性(曖昧さ)がありました。

 不定性(曖昧さ)を除くためには、電子の位置まで解を延長し、うまく電子の点電荷量と辻褄が合うように「接続条件」を定める必要がありました。


 ディラックは上記のような計算において、点電荷の無限大密度をもし仮に使用したら、無限大密度は常に積分の中にしか現れない事に気づきます。電子の電荷量はふつうeで表されるので、それを体積0で割った密度e/0を、e/0=δ(s)(無限大)と書く事にします。sは電荷eを持つ電子の位置です。
※本当は、こんな計算はやっちゃいけなんのですけどね(^^)。

 実際に考えてみると意外な事に、δ(s)の積分に関して、

  ∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある   (1)

などは明らかです。ここで∫δ(s)dV=eの意味は、体積Vの中に電子が1個しかなかった時、その体積内の全部の電荷密度を合計したみたら、それは電子の電荷eに等しくなったという式です。当然ですよね?。それしかないのだから。

 同様に、

  ∫δ(s)dV=0,sは積分領域Vの外部にある   (2)

も当然です。体積Vの中は空なのだから。

 ただし(1)(2)より体積Vとして、電子の位置sを含むいかに小さな体積を取っても、(1)が成り立ちます。おおざっぱに言えば、位置sのみ含む大きさ0で体積でも、(1)が成り立ちます。その意味でδ関数の積分は異常ですが、非常に明解です。


 数学的には∫δ(s)dV=eではなく、

  ∫δ(s)dV=1,sは積分領域Vの内部にある   (1’)

の方が便利です。このとき(1)は、

  ∫eδ(s)dV=e∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある

と書けば良い事になります。


 ディラックはまさに(1’)と(2)を、そのまま理論物理の中に持ち込みました。しかし持ち込んでも何の役にも立たたなければ(1’)と(2)は、「無限大を強引に積分してみせただけ」の数学的には破綻している、取り扱い危険物にしか過ぎません。

 そうではなかったのは、(数学的根拠はないが)(1’)と(2)さえ認めれば、

  ∫f(x)・δ(s)dV=f(s),sは積分領域Vの内部にある   (3)

の数学的証明は、けっこう簡単だったからです。

 (3)がなぜ重要かというと、先に述べた「接続条件の結果」というのが、(3)の右辺そのものだったからです。みんな「接続条件の計算」に(3)のような単純さを望んでいたのに(意味を考えると、当然そうなると思えるのに)、誰も上手く定式化できませんでした。なのでδ関数は、かなり急速に受け入れられました。だって便利なんだもの・・・(^^;)。


 とは言え正しい結果を出すのなら、それを正当化する必要があります。それをやったのがシュワルツの超関数理論です。それを(改良?)したのが、佐藤超関数です。


 δ関数は今では、電磁気学や量子力学などの理論物理の世界だけのものではありません。土木工学の分野にだって浸透しています。

 点電荷を1点に集中した無限大の電荷密度と考えるように、1点に集中した構造物に作用する外力を土木工学では、無限大の荷重密度とみなし、集中荷重と呼びます。土木工学の基本式の多くは、荷重密度を基本としているからです。


 で、δ関数との実際上の付き合い方なのですが、以上の経緯から明らかなようにδ関数は、実用的に使うためにこそ導入されました。

 なのでシュワルツの超関数を知らなくても、(1’)と(2)と(3)さえ押さえておけば、実用的には十分だったりします・・・(^^;)。

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電...続きを読む

Qデルタ関数を含む常微分方程式

y''+6y'+10=δ(x-1) , y(0)=0 , y'(0)=3
の常微分方程式を求めよという問題で
ラプラス変換をして
(s^2+6s+10)Y(s)=exp(-s)+3
とし
Y(s)=e^(-s)/(s^2+6s+10)+3/(s^2+6s+10)
よってy=sin(x-1)exp(-3(x-1))H(x-1)+3sin(x)exp(-3)という感じであっていますか?

Hはヘビサイド関数です.

Aベストアンサー

y'' + 6y' + 10y =δ(x-1) , y(0)=0 , y'(0)=3
の解は
y=sin(x-1)*exp(-3(x-1))*H(x-1) + 3*sin(x)*exp(-3x)
で合ってますよ。(質問に一部ミスタイプ?)

できあがったy(x)の式を微分してみて,

(1) x=1で,y"に無限大インパルスが入るので,
y'(x)が x-0からx+0の間で,+1 だけ不連続に増加する。
(2) x≠1で y''+6y'+10y =0を満たす。
(3) 初期条件 y(0)=0 , y'(0)=3を満たす。

を確認すればよいわけです。

QDIRACのデルタ関数

DIRACのデルタ関数について教えてください.

Aベストアンサー

ディラックのデルタ関数をxの関数として
δ(x)
と表すとします.
このときδ(x)は
x=0のみ(正確には限りなく幅が0に近い0の近傍)で0以外の値を取り,
そのほかの部分ではδ(x)=0
となるような関数です.
そして,0でδ(x)が取る値はとても大きく,0を含む範囲で積分をすれば,
幅が限りなく0に近いにもかかわらず,その積分値が1となります.

Q偏微分方程式とデルタ関数

以下の数学の問題の解き方を教えてください。

実定数λ>0を用いて、複素定数Cとαを適切に選べば(1)の関数Gは(2)を満たすことを示せ。また、そのようなCとαを求めよ。

代入するだけかと思ったのですが、デルタ関数があるせいでよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

座標微分項を左辺にもって行くと、微分は左辺の積分の中で
iω+λk^2 = i (ω-iλk^2)
に置き換わる。ところで、(1)の積分の中にi (ω-iλk^2) が掛かっていたとすると、その積分は実行出来て
i C δ(t-t') δ(x-x')
となることが分かる。従って、
λ = 1, C = -i
であれば(1)が(2)を満たす。

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

Q対数関数の微分と三角関数の微分の問題

以下2点、教えていただきたいのですが。

1.最初の問題の解の、e^(logx+1)がなぜexになるのかわかりません。

2.後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが、なぜ、残り二つの等号のように変形しなければならないのでしょうか。次の変形まではわかるのですが、最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。

基礎力不足で申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは。

1.
a×a×a×a×a = a^5
(a×a)×(a×a×a) = a^2 × a^3
よって、
a^5 = a^2 × a^3
つまり
a^(2+3) = a^2 × a^3

同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
logx = 「xはeの何乗ですか?」の答え
です。
つまり、
e^logx = eの『「xはeの何乗ですか?」の答え』乗 = x
です。
わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
e^logx = A
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取ると
log(e^logx) = logA
logx・loge = logA
logx・1 = logA
logx = logA
x = A

以上のことから、
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
 = x × e
 = ex

2.
>>>後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが
おっしゃるとおりです。

>>>最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。
(sin^2x - cos^2x)/(sinx - cosx)^2
分母と分子に (sinx + cosx)^2 をかけて
 = (sin^2x - cos^2x)(sinx + cosx)^2/{(sinx - cosx)^2(sinx + cosx)^2}
 = (sin^2x - cos^2x)(sinx + cosx)^2/(sin^2x - cos^2x)^2
約分して
 = (sinx + cosx)^2/(sin^2x - cos^2x)

こんにちは。

1.
a×a×a×a×a = a^5
(a×a)×(a×a×a) = a^2 × a^3
よって、
a^5 = a^2 × a^3
つまり
a^(2+3) = a^2 × a^3

同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
logx = 「xはeの何乗ですか?」の答え
です。
つまり、
e^logx = eの『「xはeの何乗ですか?」の答え』乗 = x
です。
わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
e^logx = A
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取る...続きを読む

Qデルタ関数

ディラックのデルタ関数に以下の関係式があると参考書に載っていました。
δ(ax) = δ(x)/a (where a>0)

上記の関係式ですが、成り立つxの範囲に制限はあるのでしょうか?

どうもイメージ的にデルタ関数は0付近で急激にあがり、上記の式が成り立たないのではないかと思ってしまっています。

Aベストアンサー

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0なので

θ(ax)=1(x>0),0(x<0)

すなわちθ(ax)=θ(x)であり,

(2)δ_ε(ax)={θ(x)-θ(x-ε/a)}/ε

=(1/a){θ(x)-θ(x-ε/a)}/(ε/a)

(1)でεをε/aに置き換えると

(☆)δ_ε(ax)=(1/a)δ_{ε/a}(x)

右辺からδ_ε(ax)は0~ε/aに面積1/aが集中していることがわかります.つまり,δ_ε(x)に比べてδ_ε(ax)はピークの幅が1/aになりその結果ピークの面積も1/aになります.(横に圧縮)

実はこれは一般に言えることです.f(x)のグラフに山があってその広がりが⊿,高さがhならば,f(ax)の場合その山の幅は⊿/aで高さは変わりません.したがってf(x)の山の面積S≒h⊿/2,f(ax)の山の面積(1/2)h⊿/a=S/aになります.

☆においてε→+0とすると,★となります.

理想的なδ関数になると,ピーク幅は0になってしまうので(☆)のような解釈はできず,xの範囲に制限はなくいつでも成り立つしか言いようがありません.

δ関数を例えば電気回路のインパルスのモデルとして実用的に使うときなどは,パラメータεなどを用いた(1)のような式で解釈すると結構その振る舞いを納得できることが多いです.

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0な...続きを読む

Q高階微分記号の意味

解析学の知識は一般教養レベルです。
微分記号の形式として、f(x)をxについて微分する際、f(x)・d/dxと記述する形式があります。
これ自体に問題はないと思うのですが、高階導関数を意味する記号として、
f(x)のn階導関数について、f(x)・d^n/dx^nと記述する理由が分かりません。
他の質問などを見るに、解析学をまともに勉強すれば分かる、ということなのですが、
この記号自体は高校数学でも出てくるので、端的な説明、あるいは説明の書いてあるサイトのご紹介をお願いしたいです。
どなたか、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

その表記は、単なる約束事の面もあって、余り気にしなくてもいいのですが、

yを微分すると、dy/dx = (d/dx)y、

dy/dx を微分すると、d(dy/dx)/dx = (d^2)y/(dx)^2、
(d/dx)yを微分すると、(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y、

(d^2)y/(dx)^2を微分すると、d((d^2)y/(dx)^2)/dy = (d^3)y/(dx)^2、
(d^2/(dx)^2)yを微分すると、(d/dx)((d^2/(dx)^2)y) = (d^3/(dx)^3)y、

というふうに、「形式的」に計算した形から来ていて、

∫ (d^2)y/(dx)^2 dx = ∫ (d^2)y/dx = ∫ d(dy/dx) = dy/dx
のように、積分でも、「形式的」に使えるので、便利、
ということだ、と、思っておけばいいかと。

ちなみに、上のような流れなので、yをf(x)に置き換えた表現も、
質問者さんのように、f(x)を前に書くのは、ちょっと反則で、
後ろに書くことを、推奨。

また、こういう「形式的」な見方・考え方は、
どんな場合も通用するのではなく、
あくまでも、そうやっていいことが証明されている場合だけ、
ということにも注意です。

実際は、結構広い範囲で使えるのですが、
そういうことなので、じゃ、dy/dxは、文字通り、分数と見て
いいのか、という質問をすると、大抵ダメ!という回答が
すぐ返ってくる訳です。

その表記は、単なる約束事の面もあって、余り気にしなくてもいいのですが、

yを微分すると、dy/dx = (d/dx)y、

dy/dx を微分すると、d(dy/dx)/dx = (d^2)y/(dx)^2、
(d/dx)yを微分すると、(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y、

(d^2)y/(dx)^2を微分すると、d((d^2)y/(dx)^2)/dy = (d^3)y/(dx)^2、
(d^2/(dx)^2)yを微分すると、(d/dx)((d^2/(dx)^2)y) = (d^3/(dx)^3)y、

というふうに、「形式的」に計算した形から来ていて、

∫ (d^2)y/(dx)^2 dx = ∫ (d^2)y/dx = ∫ d(dy/dx) = dy/dx
のように、積分でも、「形式...続きを読む


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