球の面積

解決済

質問者：noname#12891
質問日時：2005/07/13 07:42
回答数：5件

S＝４パイr二乗＝４X（大円の面積）
がなぜそうなるのかわかりません。

どうか教えて頂けないでしょうか？お願い致します。

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回答 (5件)

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No.3ベストアンサー

回答者： mech32
回答日時：2005/07/13 12:42

球の体積の公式

V=(4パイr三乗)/3

は納得されているでしょうか？もし納得されていれば、この公式から表面積を求めるこもできます。考え方は、

みかんの体積　－　みかんの中身の体積　＝　みかんの皮の体積

のように考え、このみかんの皮の厚さをどんどん薄くしていくと、皮の表面積になる、というものです。実際にやってみます。

皮の厚さ：t
みかんの中身の半径：r
表面積：S

とすると、皮の体積は、厚さ×表面積=Stなので、

(4パイr三乗)/3　－　(4パイ(r+t)三乗)/3　=　St
　　　↑みかん　　　　　　↑中身　　　　　↑皮

です。これを展開してSについて整理すれば

S　=　4パイ　×　(r二乗　+　rt　+　t二乗/3)

になります。ここで、皮の厚さをどんどん薄くしていって、厚さ0にしてしまえば、t=0ですから、括弧内の2項目と3項目は0になってしまうので、結局

S=4パイr二乗

だけが残ります。標語風に言えば、「球の表面を覆う、無限に薄い皮の体積=表面積」ということになるでしょうか。実はこの操作は微分の定義そのものなので、

S=dV/dr

という微分の操作を、定義に従って実行したことになります。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

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お礼日時：2005/08/05 21:59

No.5

回答者： BLUEPIXY
回答日時：2005/07/13 15:35

球の体積が（４πｒ＾３）／３だとわかっているとする

ここで、球の中心を頂点とする角錐が球の中にｎ個あると考えると
角錐全体の体積は｛（角錐の底面積×高さ）／３｝×ｎ
ｎ→∞に大きくしていくと、
高さ→ｒ
角錐の底面積×ｎ→球の面積
全体の体積→球の体積
にそれぞれ近づくことがわかる。
なので、
（４πｒ＾３）／３＝｛（角錐の底面積×高さ）／３｝×ｎ＝Ｓｒ／３
より
Ｓ＝４πｒ＾２

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

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お礼日時：2005/07/20 21:23

No.4

回答者： mech32
回答日時：2005/07/13 13:05

#3です。

すみません。間違いがあったので訂正します。

誤：(4パイr三乗)/3　－　(4パイ(r+t)三乗)/3　=　St
正：(4パイ(r+t)三乗)/3　－　(4パイr三乗)/3　=　St

誤：「球の表面を覆う、無限に薄い皮の体積=表面積」
正：削除

無限に薄い皮の体積は0でした(><;)。申し訳ありません。