整数の問題です（簡単かもしれません・・）

妹に質問されたのですが、解けませんでした・・。
兄貴の威厳を保つためにも、どうか教えてくださると助かります・・。

(1)7で割ると2あまり、11で割ると8あまり、13で割ると7あまる数を求めなさい。

求める数をXと置いて、
X=7a+2
X=11b+8
X=13c+7
と立式して、それぞれイコールで結んでまとめたりしてみたのですが、どうしてもXが求まりません。


(2)a,b,c,dを素数とする。aがbcdの約数ならば、a=bまたはa=cまたはa=dであることを証明しなさい。

これはいろいろ立式してこねくり回したのですが、結果的に手が出ませんでした。


以上の２題です。
みなさんには初歩的な問題かもしれませんがよろしくお願いします。

No.1 回答者： noname#11836 回答日時： 2005/07/21 06:40

(1)

800

No.2 回答者： Josquin 回答日時： 2005/07/21 07:11

(2) 対偶をとって、「a≠bかつa≠cかつa≠dならばaはbcdの約数ではない。

」を示せばよいが、
a,b,c,dを素数のとき、a≠bかつa≠cかつa≠dならばbcdがaを因数にもたないのは明らか。

・・・こんなんでいいんでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： weiemes15 回答日時： 2005/07/21 07:12

1

X+201=7(a+29)
X+201=11(b+19)
X+201=13(c+16)
X=7・11・13d-201

2
bcdの約数は1、b、c、d、bc、cd、db、bcd
aがbcdの約数で、a=bでも、a=cでも、a=dでもないとすると
a=bcまたはa=cdまたはa=dbまたはa=bcd
a=bcだとb=a/cとなってbが素数という前提に反するのでa=bcではない
同様にa=cdでもa=dbでもない
a=bcdだとb=a/cdとなってbが素数という前提に反するのでa=bcdではない
よってa=bまたはa=cまたはa=dでなければならない

No.4 回答者： mirage70 回答日時： 2005/07/21 11:18

(1)について

7a+2=11b+8=13c+7より
7a+2=11b+8からa,bの関係を求めます。
7a=11b+6から7の倍数と、11の倍数で左式が成り立つものを求めます。
7(a+7)=11(b+5)が成立するものの１つとして求まります。
7と11は互いに素なので、a+7は11の倍数であり、b+5は7の倍数である。
よって、a=11m-7,b=7m-5
同様に、11b+8=13c+7より、11(b+6)=13(c+5)
b=13n-6,c=11n-5此処でb=7m-5=13n-6此を再度整理。
7(m+15)=13(n+8)よりm=13A-15,n=7A-8
此処までは、ユーグリッド互除法を使う方法もありますが、倍数で求めました。
求める数は、7a+2=7(11m-7)+2=77m-47=77(13A-15)-47=1001A-1202正の数より、A=2を入れます。

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2005/07/21 11:53

(1)は中国の剰余定理(Chinese Remainder Theorem 中国人の剰余定理、中国式剰余定理とも)の応用ですね。

同様なものに、3、5、7で割った余りから元の数(100以内)を求める百五減算なんて数当てもあります。
具体的な解法は既に複数あるので省略します。