行列式計算で答が二通りでてしまう

　 ｜ 1 -3 2｜(1)
-2｜ 1 2 -7｜(2)
　 ｜-2 5 5 ｜(3)

4×4の行列式の計算をしていたら上のような形がでてきました。一行目～3行目までをそれぞれ(1)、(2)、(3)とします。
これをさらに、計算しやすくするために2×2の行列式にしたいと思います。
一番左の列を、上から「1 0 0」としたいので、(3)は迷い無く(1)×2+(3)をやりました。
次が問題なのですが、2行1列目を0にするためには、「(1)-(2)」、「(2)-(1)」の2パターンが考えられます。
【(1)-(2)】
　 ｜ 1 -3 2｜
-2｜ 0 -5 9｜(1)-(2)
　 ｜ 0 -1 9｜

【(2)-(1)】
　 ｜ 1 -3 2｜
-2｜ 0 5 -9｜(2)-(1)
　 ｜ 0 -1 9｜

前者の場合答は72になります。
後者の場合答は-72になります。

そして、正解は後者の-72になるのですが、前者が間違っている理由が分かりません。
まだ、行列というものがあまり理解できていないので、分かる方お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/07/22 17:31

(1)-(2)=-((2)-(1))ですからまずいでしょう。

基本は２行目に対して-1をかけているので、当然行列式が負になります。
２行目を変形するとき、２行目自身に何か数をかけてはいけません。それをやると、たとえば２行目の変形は0,5,-9でなくてもたとえば0,20,-36でもいいことになります。((２)×4-(1)×4です）
その結果は・・・・行列式が４倍の-288になってしまします。
あくまで(2)+(1)のk倍＋(3)のｍ倍、という形でないといけません。
行列式は「大きさ」を含むので、行ベクトルの大きさを変えてはいけないのです。

No.5 回答者： iceforceless 回答日時： 2005/07/24 02:43

>次が問題なのですが、2行1列目を0にするためには、「(1)-(2)」、「(2)-(1)」の2パターンが考えられます。

とありますが、「(1)-(2)」とするのが誤りです。

行列式の変形でできるのは「ある行（or列）に他の行の(or列)の何倍かを足す」という操作です。
今回は(2)に(1)の(-1)倍を足して「(2)-(1)」と出来ますが、前者の様になる操作は出来ませんね。

No.4 回答者： syataru 回答日時： 2005/07/23 14:33

そんなめんどくさいことをやらずに、４ｘ４の行列式ならば、サラスの公式が適用できますので、それで答えを出した方が確実だと思います。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2005/07/22 17:29

前者の変形は

第２行を-1倍してから、第２行に第１行を足している事になります

第２行を-1倍してるので、当然、行列式の値も-1倍になります。

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/07/22 17:18

２行目の数値を引き算して変更するのですから、

２行目ー１行目です。

逆をすると、２行目はそのままで、
下記のように１行目を０にすることになります。
　 ｜ 0 -5 9｜
-2｜ 1 2 -7｜(1)-(2)
　 ｜ 0 -1 9｜