ゼノンのパラドックスについて

Question

http://blog.3dna.ne.jp/2005/07/post_0236.html
紀元前400年以上も前の哲学者ですが、
このゼノンのパラドックスを、
現在ではどのように論破し、
読み解いているのでしょうか？
できるだけ分かりやすく教えて下さい。

kaoru-chan · Accepted Answer

有限と無限の問題に帰結します。
数学的な証明は簡単です。

「亀が到達した所に、アキレスが追いつく」「亀は少し移動する」「そこに到達すると、また亀は少し移動している」......

長さを（有限の長さ）を無限に分割していますね。でも時間は有限です。速さに時間を掛ければ距離が出てきます。

別な例を出せば、羊羹を三等分できますね。これは有限です。でも、三等分（1/3）は　0.333333333333333.......です。　割り切れないから、三等分できないとはいえませんね。

その他、「跳ぶ矢、飛ばず」などゼノン（ツェノン）のパラドックスは多数あります。
数学の無限論に多大の貢献をしたことと思います。

corpus · Answer

青山拓央の「タイムトラベルの哲学」を読んでみたらいかがでしょうか？アキレスと亀について、論破はしていないかもしれませんが、なかなかおもしろかったです。

アキレスと亀の世界には、絶対的な均質な時計がない世界だということ、そして、むしろ、アキレスと亀が時計になっているということがおよその内容です。

hakobulu · Answer

＃４です。
丁寧なご返事をいただき、ありがとうございます。
勉強になりました。

この論理は、おっしゃるように「＞連続された運動が前提」になっているのでしょう。
連続性と共に、
「アキレスは常に亀より速い速度で、前方へ移動していなければならない」
という約束事も前提になっていると、考えるのはおかしいでしょうか？

アキレスが急に休憩したり、亀が側を流れる急流に飛び込んでアキレス以上の速度を得る、
とかいったことを許可すれば、この論理を構築する意味が無くなります。
「亀はアキレスを永遠に追い越せない」ということに、論理としての意味が無いのと同じように。

故に、
この「アキレスは亀より速い、という前提が論理の中で採用されていない」
ことを明らかにすることによって、論理の破綻を証明しようと考えたのですが、
こういう捉え方はおかしいんでしょうかね。

「亀が元いた位置」にたどり着く事を無限に繰返すという想定は、
理論上は確かに、アキレスが当初維持していた速度
（亀を追い越すペースとしては十分な）が保たれるとはいえ、
限りなく「ゼロ」に近いものとして認識せざるを得なくなるのは明らかな為、
「アキレスの速度を意図的に無視しようとしている」
という意味で、
先の前提と矛盾するのではないかと考えたのですが、
やはり、どこか違うんでしょうね。

BABAa · Answer

ゼノンの言うとおり、アキレスは亀を追い抜けないと思います。
ゼノンの唱えたワールドでは、アキレスは亀を追い抜けません。ゼノンワールドを解体する作業が、必要だと思います。その鍵は、アキレスが亀を追い抜くと言う決まりきったと思われる現実から借用するのではなく、ゼノンのように、新たにワールドを創出し、そのことで、ゼノンを説き伏せたなら、ゼノンも満足と思います。
アキレスが亀を追い抜かなければならないと思うと、このパラドクスにはまってしまうのではないでしょうか。
ゼノンのように考えると、アキレスと亀の結果の分かったような勝負も、迫真に迫ったダイナミックなものになると思います。
ゼノンは、亀が勝つ、に、いくら＄かけたでしょうね。

ゼノンは、速い遅いの目に見える相対的なことに、右往左往されるなよ、と言いたいのではないでしょうか。
西洋の禅問答のようですね。解はあるでしょう。
誰か　「アキレスは亀を追い抜けん、なんでやろね。」
ゼノン「亀（亀の時間）が常に一歩先じているからだ。亀の一歩ですら、アキレスは渡りきることができない。」
誰か　「アキレスは一歩も動かずに、そのかめを抜き去るという。」
ゼノン「亀（亀の時間は）は常に一歩遅れているからです。微動にしないアキレスにすら、亀は追いこされてしまった（亀の符号はマイナスになる）。」
　
亀とアキレス、どちらが先に、時間を得ているか（どちらに時間を付与するか）。ゼノンに先にしゃべられた時点で、ゼノンが先手を取っています。取られた先手をひっくり返さなければ、ゼノンを論破することはできません。

bofd · Answer

論理的な回答ではないかもしれませんが、私も考えてみました。
そもそも、実際に起きているレースとそれを言葉（概念）で表したものは、厳密な意味ではイコールではないのだと思います。
このパラドックスの数学的な表現は、全体を部分に切り刻んで、それぞれの部分について検討するものとなっています。しかし、実際のレースは切れ目のないひとつづきです。この恣意的な切れ目の有無によって、「実際のレース≠数学表現としてのレース」となり、そのズレがパラドックスとなったのだと思います。

ktas · Answer

この逸話そのものの性格、ゼノンの人となりも知ってください。
現実の駆けっこと照らし合わせても仕方ないと思いますけど、いかがかな。
下記アドレス面白いですよ

参考URL：http://www6.plala.or.jp/swansong/007200taikakusen.html

nabla · Answer

一言で言えば「アキレスが亀に追いつくまでの過程を無限に分割している」だけです。

kobarero · Answer

以下のように変数を定めます。

a0: 最初の時点でのアキレウスと亀の距離
a1....an:　その後、亀が毎回進む距離
t0:アキレウスが亀の一回前にいた場所まで追い付く時間
V:アキレウスの速度
v: 亀の速度
c=v/V: アキレウスと亀の速度比

上記の定義より、以下のことが言えます。

t0=a0/V 
t1=a1/V=(t0*v)/V=t0*(v/V)
t2=a2/V=(t1*v)/V=t0*(v/V)^2
t3=a3/V=(t2*v)/V=t0*(v/V)^3

tn=an/V=(tn-1*v)/V=t0*(v/V)^n

Tをアキレウスが亀の位置まで無限回進むまでの時間とすると、その時間は以下のように「有限」になります。

T=t0+t1+t2+  +tn=t0(1+c+c^2+c^3+  +c^n)=t0/(1-c)=t0/(1-v/V)=a0/(V-v)

上記より
(1)T秒後の亀の位置は、a0+v*T=a0+v*a0/(V-v)=a0*V/(V-v)
(2)T秒後のアキレウスの位置は、V*T=V*a0/(V-v)=a0*V/(V-v)

従って、(1)=(2)となり、T秒後にアキレウスは亀に追い付きます。

hakobulu · Answer

こういう面白いものがあるんですね。
参考サイトを見させていただいて、うなってしまいました。
その後、パラドックスの論理を筆記しながら考えてみました。

亀のスタート地点をAとして、後方からアキレスが同時にスタートするんですよね。
アキレスがA地点に着いた時、亀はB地点に着いてますから、
確かにA地点では追いつけません。

ところで、これは「アキレスが亀より速い」という事が
大前提になっているが故の「パラドックス」と考えていいんですよね。

さて、地点間の距離は無限に縮まっていくはずですから、
ある地点、例えばＣ地点からほんの一歩でアキレスがＤ地点に着くという状況がある筈です。
この一歩を踏み出した瞬間、
Ｄ地点にいる亀も次のE地点に向かおうとしています。

しかし、アキレスがＤ地点に着いた時、亀もE地点に既に着いているという仮定が無ければ、
このパラドックスは成立しませんから、
亀がE地点に着くのとアキレスがＤ地点に着くのは、
同時でなければなりません。

亀より足の速いアキレスが、亀がE地点に着くのに合わせる為、
「足を数瞬止める」あるいは
「思いきりスローモーションで足を前方へ移動する」ことが必要になります。

これは「アキレスが亀より速い」という大前提に違反します。

哲学というか、論理の問題なのかもしれませんが、
このように考える事もできるように思いました。

kaoru-chan · Answer

No.1 です。


「有限の時間に無数の点を通過することは、本当に可能なのでしょうか？」：　質問の内容が分りません。

例えば、あなたが一歩踏み出しますね。歩幅80センチとしましょう。この80センチの長さの中に無限の点があります。0.0001センチだったり、79,9999センチであったり。でもあなたはこの無限の点を通過し80センチの位置に到達します、ね。

無限論は非常に興味深い課題です。無限にも種類があるとか、もしご興味があるのでしたら新書版で多数出ていますので、一度手にとって見てはいかがですか？

ゼノンのパラドックスについて

有限と無限の問題に帰結します。

青山拓央の「タイムトラベルの哲学」を読んでみたらいかがでしょうか？アキレスと亀について、論破はしていないかもしれませんが、なかなかおもしろかったです。

＃４です。

ゼノンの言うとおり、アキレスは亀を追い抜けないと思います。

論理的な回答ではないかもしれませんが、私も考えてみました。

この逸話そのものの性格、ゼノンの人となりも知ってください。

一言で言えば「アキレスが亀に追いつくまでの過程を無限に分割している」だけです。

以下のように変数を定めます。

こういう面白いものがあるんですね。

No.1 です。

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　一言で言えば「アキレスが亀に追いつくまでの過程を無限に分割している」だけです。