こんにちは、早速ですが
2つの入力変数(X1とX2)と1つの出力変数(Y)があり、
このデータを3D散布図に描くと曲面展開できそうな
(ねじれた平面?)形になりました。
が、カーブフィットの方法がわかりません。
簡単な2Dのフィッティングは最小二乗など使って
何度かやったことあるんですけど
独立変数が複数になるとさっぱりわからなくなりました。
どなたかご教授ください。
またこのようなフィッティングが簡単にできる
おすすめのグラフソフトなどあれば教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

モデルがデータに合わない場合、手っ取り早いのはモデルを多項式として、その次数を上げていくことです。

この場合まずは双2次式かな?つまり
f(X1,X2) = α(X2) X1^2 + β(X2) X1 + γ(X2)
α(X2) = A X2^2 + B X2 + C
β(X2) = D X2^2 + E X2 + F
γ(X2) = G X2^2 + H X2 + I
の9パラメータのモデルですね。パラメータA,B,C,....,Iについてfは1次式ですから、線形最小二乗法が使えます。
これでダメなら双3次式。
がんばろー!

この回答への補足

度々ありがとうございます。
やはり多項式で次数を増やしていくのが手っ取り早いんですね。
双3次式まで計算したらかなり良い結果が得られました。
いろいろ教えていただいてありがとうございました。

補足日時:2001/11/09 15:19
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当て嵌めたいモデルをf(X1,X2)とします。

ねじれた平面だったらたとえば
f(X1,X2) = AX1X2 + BX1 + CX2 + D
のような格好になるでしょうか。で、最小二乗法でA,B,C,Dを決めてやればよい。
データがN個あるとして、それを<X1[j],X2[j],Y[j]> (j=1,2,....,N)とします。そうすると、残差を
ε[j] = f(X1[j],X2[j]) - Y[j]
と定義して、残差二乗和
S = Σ(ε[j])^2 (Σはj=1,2,...,Nについての和)
を最小化したい。ですから連立方程式
∂S/∂A = 0
∂S/∂B = 0
∂S/∂C = 0
∂S/∂D = 0
を解く。
∂S/∂A = 2Σ(X1[j] X2[j](AX1[j]X2[j] + BX1[j] + CX2[j] + D - Y[j]))
∂S/∂B = 2Σ(X1[j] (AX1[j]X2[j] + BX1[j] + CX2[j] + D - Y[j]))
∂S/∂C = 2Σ(X2[j] (AX1[j]X2[j] + BX1[j] + CX2[j] + D - Y[j]))
∂S/∂D = 2Σ(AX1[j]X2[j] + BX1[j] + CX2[j] + D - Y[j])
ですから、A,B,C,Dを変数とする連立一次方程式です。

モデルfがもっと他の関数の場合でも同じ要領ですが、モデルがややこしい式だと、解くべき連立方程式が一次方程式にならない場合があります。
そのときには、モデルの表し方を工夫して一次方程式になるように持ってくるか、あるいは「非線形最小二乗法」という繰り返し計算を用います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

>当て嵌めたいモデルをf(X1,X2)とします。ねじれた平面だったらたとえば
>f(X1,X2) = AX1X2 + BX1 + CX2 + D
>のような格好になるでしょうか。

そうですね、この関数はねじれた平面ですよね。
この場合たとえばX2を固定するとF(X1,Y)は1次式になりまして、
つまり直線の角度をちょっとずつ変えてできた平面ってことですよね?
でも実際には…
仮に下敷きのようなものの両端を両手で持って
グィっと捻じ曲げてみたらこんな風にはなりませんよね。(なんかわかりずらい?)
あらゆるX2においてF(X1,Y)は曲線になるはずなんですよ。
しかもX2によって曲率が異なる。
こういう場合はもっと複雑な関数を定義しないといけないのでしょうか?
この関数のモデルが知りたい! です。

ちなみに
f(X1,X2) = AX1X2 + BX1 + CX2 + D
でフィッティングしたら残さ二乗が14835になっちゃいました。(ioi)

補足日時:2001/11/06 17:20
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最小二乗法をご存知とします。


適当なほうてい式が存在するとして.適当な初期値を決定します。

それぞれの定数を少し動かした時の残差を計算します。
時間がかかって良いのであれば.残さの最も少ない場合を選んで.このあたいにたいして.それぞれの定数を少し動かした時の残差を計算します。

残さが十分少なくなった時に.打ち切ります。
時間をかけない(計算回数を少なくする方法には.いろいろありますが.言葉で説明できません。)
私の場合には.ベーシック(言語ソフト)で画面に表示させながら.手作業で変数を適当にいじって残差が少なくなるようにしました。この方法は.各種方法によって選られた最適解が理論上取りうる値を逸脱する場合に確実に収束させる方法です。ただ.それが必ずしも最適解ではないのです。
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Q曲率についての本

ちょっと曲率について調べることがあるのですが、曲率について基本的なことが詳しく書かれている本やサイトがありましたらご教授願います。曲面や空間の曲率ではなく、曲線の曲率とその性質が知りたいのです。

Aベストアンサー

この辺りはいかがでしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/曲率

http://www.geocities.jp/maeda_hashimoto/tor/tor_ch02pr03p04.htm

曲率そのものだけを扱った本はあまりないようですが、私はベクトル解析の講義で曲率を習いました。

ベクトル解析の書籍を当たってみるのが良いと思います。

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
前の二項で、x^2+y^2=Aと考えると (A+xy)(A-xy) となり、 A^2-x^2y^2 
Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

Q宇宙の曲率

ビッグバン宇宙論で、「宇宙全体の『曲率』が平坦である」というのを読みました(『ガリレオがひらいた宇宙のとびら』)。

(以下引用)
 なじみやすい例として、線路や道路のカーブがどの程度きついか、という曲率があります。この曲率は三次元空間では、二次元のものについて(つまり道路や線路のように線について)定義できます。
 同じように四次元空間の宇宙でも、三次元空間である宇宙の曲率が定義できるのです。この曲率がほとんどゼロであるというのも、非常に不自然です。ビッグバン宇宙論では、曲率をすこしでももっていると、その曲率を大きくする方向に進むはずなのです。これが宇宙の平坦性問題というものです。

曲率を辞書で引くと、「曲線の曲がりの度合い」とあります。
道路や線路の曲がりの度合い、はわかるのですが、宇宙の曲率というのは、何だと考えればいいのでしょうか。

星を見るのは好きですが、天文学に詳しいわけではないので、なにかわかりやすい例とかあったら教えていただきたいのですが。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

なんか「引用文」の説明がヘタクソのような気がするんですが。

2次元上の点は(x,y)で、3次元上は(x,y,z)で表現できますよね。
3次元上での「平面」は例えば「z=0」などで表現できますけど、
z=(x+y)(x-y) のような形で2次元を定義することも出来るわけです。

z=(x+y)(x-y)の2次元面でも、z軸上から見ればあくまで(x,y)は「z=0」
の(x,y)平面と同じ場所にありますが、3次元的に見ればウニャウニャ
な曲面上にあります。曲率ってのはこういうことです。

要は、より高次の次元から見ると歪んでいるけれど、その次元から
見る限り認識できない歪みが、この場合の「曲率」と言うことです。

上の例でも、z=(x+y)(x-y)面では、「等速運動をしているつもりな
のに、場所によって速度が変わってしまう」事象が出てくるはずで、
天文学でもそういう「現象」から曲率を推測しているんです。

Q数学 係数の求め方について教えて下さい。(x二乗+x+1)(2x+3)[x],[x二乗]途

数学 係数の求め方について

教えて下さい。
(x二乗+x+1)(2x+3)[x],[x二乗]

途中の計算式も教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず右の2xだけを左に掛けて、2x^3+2x^2+2x、次に3を左に掛けて3x^2+3x+3
この二つを足して
2x^3+5x^2+5x+3
(x^3、x^2 はxの三乗、xの二乗の意味)
よってxの係数は5、x^2の係数は5

Q可展面とガウス曲率

現在,建築(構造)を学んでいる院生です。
可展面についての質問です。
ある曲面Sが平面上に展開できるためには
(1)Sは,線織曲面である.
(2)S上のすべての点においてガウス曲率が0である.
と記述してある文献あるいは論文と,(2)さえ満足していれば可展面であるとしている文献があるいは論文があり,どちらが正しいのか分かりません。
自分としては,反例が思いつかないので(2)さえ満足していれば可展面だろうと考えていますが,学会誌に出す際に間違った定義を書いてはまずいので,どなたか詳しい方いらっしゃいましたらご教授願います。

Aベストアンサー

素人ですが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%B1%95%E9%9D%A2
によると(2)が可展面の定義で、(1)は(2)から導かれる結論です。
(1)を満たす、一葉双曲面、双曲的放物面は感じとして展開できないような気がします。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2

ただ、(1)の定義には理解できないところがありますが、素人なので。

Qa(b二乗−c二乗)+b(c二乗−a二乗)+c(a二乗−b二乗) の、因数分解を教えてください

a(b二乗−c二乗)+b(c二乗−a二乗)+c(a二乗−b二乗)
の、因数分解を教えてください

Aベストアンサー

因数分解せよ。ということは暗に「因数分解できる」と言っている。
★折角、web標準のUTF-8の掲示板なので、・・

a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)

とかける。
 とりあえず展開して、文字順次数順に整理しておく。
 = ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c
 = - a²b + a²c + ab² - ac² + bc² - b²c
 = (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c 後で役立つ

は簡単な因数で割れるはず。
a = b とすると
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(a² - c²) + a(c² - a²) + c(a² - a²)
= a³ - ac² + ac² - a³ + a²c - a²c
= a³ - a³ - ac² + ac² + a²c - a²c
  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄=0
= 0
 よって、(a - b)は因数
同様に、
b = c とすると
a(b² - b²) + b(b² - a²) + b(a² - b²)
  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄=0
= 0
 よって、(b - c)も因数
同様に
a=c
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(b² - a²) + b(a² - a²) + a(a² - b²)
= ab² - a³ + a²b - a²b + a³ - ab²
= ab² - ab² + a³ - a³ + a²b - a²b
= 0
 よって、(a - c)も因数
わかっている因数をすべて掛け合わせると
(a - b)(b - c)(a - c)
展開すると、
 = (ab - ac - b² + bc)(a - c)
 = a²b - abc - a²c + ac² - ab² + b²c + abc - bc²
 = - a²c + a²b + abc - abc + ac² - ab² + b²c - bc²
 = - a²c + a²b + ac² - ab² + b²c - bc²
 = (b - c)a² + (c² - b²)a + b²c - bc² (1)
これは、正負が変わるだけで
先の
 (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c
と同じ
 なのでこれ以上因数はない。あれば、(1)の式で割ればでてくる

因数分解せよ。ということは暗に「因数分解できる」と言っている。
★折角、web標準のUTF-8の掲示板なので、・・

a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)

とかける。
 とりあえず展開して、文字順次数順に整理しておく。
 = ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c
 = - a²b + a²c + ab² - ac² + bc² - b²c
 = (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c 後で役立つ

は簡単な因数で割れるはず。
a = b とすると
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(a² - c²) + a(c² - a²) + c(a² - a²)
= a³ - ac² + ac² - a³...続きを読む

Q宇宙の曲率Kの次元が【L^(-2)】の理由

はじめまして。よろしくお願いします。

宇宙論のRW時空に曲率Kが出てきます。
Rを曲率半径とすると

K=1/(R^2) (>0)
または
K=ー1/(R^2) (<0)
または
K=0
と3通りあります。

これらの曲率Kの次元は【L^(-2)】ですが、
「曲線の曲率」K_lの次元は【L^(-1)】です。

曲線の曲率K_lの方は教科書を読んで、どういう理由で次元が【L^(-1)】になったのかわかるのですが、
RW時空の方の曲率Kのほうは、どのとうな理由から次元が【L^(-2)】になるのか?よくわからなかったです。
できれば、詳しく教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

曲率半径の逆数としての曲率を立てたラグビーボールに当てはめると、経線方向の曲率が小、緯線方向の曲率が大となります。円柱の側面なら高さ方向の曲率はゼロです。
円柱の側面に住んでいる二次元人は自分がいるのが平面なのか円筒面なのかはわかりません。
平面なのか球面なのかなら「円周率を測定してみる」という方法で区別できます。この方法で求められるのがガウス曲率です。ガウス曲率は上記の曲率と関係はありますが別物です。
ここから先はリンク先等をご参照のこと。RW計量の曲率はガウス曲率のことみたいですね。

曲線の曲率の符号が曲率半径の符号(右カーブか左カーブか)に対応するとすると、その曲率をそのまま当てはめても「負の半径の球」になってしまい「鞍形面」にならない感じがしませんか?このあたりに【L^(-2)】である理由がありそう

参考URL:http://www.geocities.jp/maeda_hashimoto/tor/tor_ch02pr03p04.htm

Qf(x) が |f(x)|≦x^2(xの二乗)であるとき f′(0)

f(x) が |f(x)|≦x^2(xの二乗)であるとき f′(0) について考察せよ。 という問題がわかりません。 だれか教えてください。

Aベストアンサー

まず、
  |f(x)| ≦ x^2
  -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2
より、
  f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
  (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
  (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
  f(x)/x = f'(c)
  (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
  -x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
  f'(0) = 0


補足、
上に書いたのは[0,x]を考えているのでx>0の場合です。
つまり右極限lim[c→+0]{f'(c)}しか考えていないので、区間[x,0]で考えた場合も同様に証明しといた方がいいかもしれません。
また、平均値の定理を使うためf(x)を[0,x]で微分可能と仮定しています。そもそもこの仮定が成り立つかどうか、成り立たない場合にはどうか、別に考える必要があります。

まず、
  |f(x)| ≦ x^2
  -x^2 ≦ f(x) ≦ x^2
より、
  f(0) = 0
です。

ここから平均値の定理を用います。
平均値の定理とは、
f(x)を区間[a,b]で連続で微分可能な関数とすると、a<c<bなるcが存在して
  (f(b)-f(a))/(b-a) = f'(c)
が成り立つ。
ってやつですね。

区間[0,x]で考え、a=0,b=xを当てはめると
  (f(x)-f(0))/(x-0) = f'(c)
  f(x)/x = f'(c)
  (-x^2)/x ≦ f(x)/x = f'(c) ≦ (x^2)/x
  -x ≦ f'(c) ≦ x
ここでx→0の極限を考えるとc→0となり、はさみうちの定理より
  f'(0) = 0


...続きを読む

Q楕円の曲率について

楕円の曲率を計算してみたのですが、
曲率が一番大きな箇所・・・長径の端点
曲率の最も少ない箇所・・・媒介変数表示による角度で大体45°を超えた
             あたり
の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。
計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。
URLのご提示でも構いません。

Aベストアンサー

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮閉線は次のようになります(参考URL)。
  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)…(2)
a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。
楕円の曲率半径は計算で出ますよ。

2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、
x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位)
曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2)
曲率半径:R = 1 / k
で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t)
t=π/2(90度)のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b(最大曲率半径)
t=0のとき、k1=a/b^2(最大曲率), R1=b^2/a(最小曲率半径)
t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)}

となります。a=2,b=1の場合計算してみると
R2=4 ,k2=1/4=0.25,
R1=1/2=0.5 ,k1=2,
R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059…
となります。

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/243_daen.htm

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮...続きを読む

Qb二乗(sin二乗 + cos二乗) + c二乗.

b二乗(sin二乗A + cos二乗A) + c二乗 - 2bc

= b二乗 + c二乗 - 2bc

この式でなぜ(sin二乗A + cos二乗A)が消えるのかわかりません。
b二乗sin二乗A + b二乗cos二乗A + c二乗 - 2bcにならないのはなぜですか?

Aベストアンサー

sin^2θ+cos^2θ=1
となるからです。

○の二乗は、○^2
○の三乗は、○^3というふうに書くのが一般的です。

dの2乗なら、d^2となります。


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