足すと９になる三桁の数が９で割れるのはなぜ？

足すと９になる三桁の数が９で割れるのはなぜでしょうか。じつはあまり深く考えずに使っていたのですが、小学生のいとこに尋ねられたときに答えられなかったのです。いろいろ証明しようと思えば出来るのでしょうが、小学生の頭にもになじむ説明の仕方が見つかりません。いとこは小学四年生です。どうぞ宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： TrickOrTreat 回答日時： 2001/11/02 10:37

例えば、３２７を 300 + 20 + 7 のように百桁の数（A)、十桁の数(B)

一桁の数(C)のように分解します。
そうすると例えば 300 を９で割った余りは 3、20 を９で割った時の
余りは 2、7 を９で割った時の余りは 7 というように余りの数は桁の
数字に同じになるので、余りを足して９で割り切れるならそれは９の倍数
ということになります。
つまり、

A+B+C = X+(百桁目の数字)+　Y+(十桁目の数字)+　Z+(一桁目の数字)
(X,Y,Z はそれぞれ９の倍数)

と考えることができ
X,Y,Z が９の倍数なら、それらの足し合わせた数も９の倍数です。
(百桁目の数字）+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字)が９で割り切れる
なら、(百桁目の数字）+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字) も９の
倍数になるので、全てを足し算した A+B+C は９の倍数。つまり９で割り
切れるということになります。
小学４年生が倍数や、９の倍数を足し算した結果がやはり９の倍数になる
ということが分からないと説明は難しいけど、２００を９で割ると余りが
２になるというちょっと不思議な性質を考えてもらうといいかもしれません。

No.7 回答者： ADEMU 回答日時： 2001/11/02 15:39

ｋｋｏｉさんの言うようにまずどうなるかを実践させて、１０の位、１００の位・・・で実際９で割ると余りが幾つになるかを発見させることからはじめましょう。

必ずその位の先頭の数字が余りになるはずですから、各位の合計が９で割れればその数字も９で割れることがわかるはずです。それがわかれば何桁の数字でも合計が９で割り切れれば９で割れることが理解できると思います。

この回答へのお礼

学校に行っている間にさっそくたくさんのお返事を頂き、驚きました。皆さん本当に有難うございました。小学生では代数を使うことが出来ないので、一般的に証明することが出来ないのです。けれど、私自身納得できないと公式が使えないたちなので、飲み込んでしまえとはいえませんでした。何人かの方がおっしゃっていたように、９で割ったあまりを使う方式で説明してみようと思います。

お礼日時：2001/11/02 22:17

No.6 回答者： kkoi 回答日時： 2001/11/02 12:44

　なぜ、３００を９で割ると余りは３になるのか。

　それは１００を９で割ると余りが１になるからです。
　その１００が３個集まると３００だから、余りも１が３個集まって３になる。
　同じように１０を９で割ると余りは１。だから２０の場合は２なんですね。
　小学４年生ということで、すこし丁寧に説明する必要があるのかもしれません。

　発展問題になると思いますが、１０００でも１００００でも同じように９で割ると１が余りになります。
　小学生なので三桁にしているのでしょうが、三桁に制限されるものではないわけですね。
　

No.4 回答者： takekan 回答日時： 2001/11/02 10:25

小学４年生で疑問を持ったってすごいですよね。

だって、言われるままに使う子供たちって結構いますから。

で、答え方なんですけど、そんなにも難しく考えなくていいと思います。私だったら小学４年生にこのように教えます。

まず、足して９になるような１桁の数字を質問します。
　→当然９しかないので、９で割り切れます。
次に、足して９になるような２桁の数字を質問します。
　→１８，２７，３６，４５，５４，６３，７２，８１　これらも９で割り切れます。
これらが成り立つことから、「各桁を足して９になる数字は全部９で割れるのではないか」という法則があるのではないかと予測してもらいます。で、実際に３桁の数字でも成り立つかどうか、また４，５，６…桁の数字でも同じようにできるかどうか確認をする。

で、この問題って、本当は
「各桁の数字を足して９の倍数になる数字は、９で割れる」
って所まで発展できますよね。「９９も９で割り切れるけど、ほかに何かルールはないかな？」って感じで、発見してもらえれば一番いいでしょうね。

No.3 回答者： yohsshi 回答日時： 2001/11/02 08:59

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝９である時に、Ｎ＝１００×Ａ＋１０×Ｂ＋ＣとなるようなＮが９の倍数であることを証明しなさい。

というような問の回答ならば以下の通りです。


Ｎ－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）を計算します
Ｎ－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１００×Ａ＋１０×Ｂ＋Ｃ－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）
　　　　　　　　　＝９９×Ａ＋９×Ｂ

ここで９９も９も９の倍数ですので、『Ｎ－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）』は９の倍数となります。
最初の命題より、Ｎ－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝Ｎ－９です。
このことからＮ＝（９の倍数）－９なります。
９の倍数から９を引けば当然、９の倍数ですからＮが９の倍数であることが証明できることとなります。

小学４年生にはちょっと難しい解答かもしれませんが、遅くとも６年生では理解できるレベルだと思います。この程度は判っているということだと思いますが、他に説明する方法が見当たりませんでしたので記載させていただきました。

No.2 回答者： nozomi500 回答日時： 2001/11/02 08:48

３桁の数にかぎらず、９の倍数は各桁の数字を加えると9の倍数になります。

したがって、「足すと9になる」というより「足すと９の倍数になる」が正しい。
（たとえば、「999」や「909」など）

「水道方式」でよくつかう道具（「タイル」とよばれる）で考えると、３桁の数というのは、「100」のタイル、「10」のタイル、「1」のタイルがそれぞれ数枚で構成されるわけですが、（たとえば「743」は「１００」が７、「１０」が4、「1」が３つ）
なければ、お手製で、100＝10×10、10＝10×1、1＝１×１の正方形、長方形を方眼紙で何枚か作ってみましょう。お皿を９枚用意して。

「100」を９つに分けようと思えば、ハサミで「10」を１０作るのですが、そのうち9つは分けられます。あまった「10」は「1」を10こに切り分けられます。このうち、9つは分けられます。最後に「1」が１つあまります。
「10」も「100」も（ついでに「1000」も「10000」も・・）、９で割れば「1」あまります。
「３００」であれば「3」、「７００」であれば「7」、「４０」であれば「4」、それぞれ、各位の数字があまりになります。（「9」あるいは「０」であれば割り切れます。）
最終的に割り切れる条件というのは、「あまりを集めて9（９の倍数）になればいい」ということになります。したがって、各位の数字がそのままあまっているわけだから、各位の数字を足せば、９で割り切れるかどうかわかります。

ついでに、
それぞれの数字について、倍数みつけ方があるのですが、「7」の倍数だけは、「見つけ方」をやるより実際に７で割った方が手っ取り早いので、「7」は神秘的な数字といわれていました。

No.1 回答者： nanashisan 回答日時： 2001/11/02 08:29

9と99が9で割り切れるからです。