足すと9になる三桁の数が9で割れるのはなぜでしょうか。じつはあまり深く考えずに使っていたのですが、小学生のいとこに尋ねられたときに答えられなかったのです。いろいろ証明しようと思えば出来るのでしょうが、小学生の頭にもになじむ説明の仕方が見つかりません。いとこは小学四年生です。どうぞ宜しくお願いします。

A 回答 (7件)

例えば、327を 300 + 20 + 7 のように百桁の数(A)、十桁の数(B)


一桁の数(C)のように分解します。
そうすると例えば 300 を9で割った余りは 3、20 を9で割った時の
余りは 2、7 を9で割った時の余りは 7 というように余りの数は桁の
数字に同じになるので、余りを足して9で割り切れるならそれは9の倍数
ということになります。
つまり、

A+B+C = X+(百桁目の数字)+ Y+(十桁目の数字)+ Z+(一桁目の数字)
(X,Y,Z はそれぞれ9の倍数)

と考えることができ
X,Y,Z が9の倍数なら、それらの足し合わせた数も9の倍数です。
(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字)が9で割り切れる
なら、(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字) も9の
倍数になるので、全てを足し算した A+B+C は9の倍数。つまり9で割り
切れるということになります。
小学4年生が倍数や、9の倍数を足し算した結果がやはり9の倍数になる
ということが分からないと説明は難しいけど、200を9で割ると余りが
2になるというちょっと不思議な性質を考えてもらうといいかもしれません。
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kkoiさんの言うようにまずどうなるかを実践させて、10の位、100の位・・・で実際9で割ると余りが幾つになるかを発見させることからはじめましょう。

必ずその位の先頭の数字が余りになるはずですから、各位の合計が9で割れればその数字も9で割れることがわかるはずです。それがわかれば何桁の数字でも合計が9で割り切れれば9で割れることが理解できると思います。
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この回答へのお礼

学校に行っている間にさっそくたくさんのお返事を頂き、驚きました。皆さん本当に有難うございました。小学生では代数を使うことが出来ないので、一般的に証明することが出来ないのです。けれど、私自身納得できないと公式が使えないたちなので、飲み込んでしまえとはいえませんでした。何人かの方がおっしゃっていたように、9で割ったあまりを使う方式で説明してみようと思います。

お礼日時:2001/11/02 22:17

 なぜ、300を9で割ると余りは3になるのか。


 それは100を9で割ると余りが1になるからです。
 その100が3個集まると300だから、余りも1が3個集まって3になる。
 同じように10を9で割ると余りは1。だから20の場合は2なんですね。
 小学4年生ということで、すこし丁寧に説明する必要があるのかもしれません。

 発展問題になると思いますが、1000でも10000でも同じように9で割ると1が余りになります。
 小学生なので三桁にしているのでしょうが、三桁に制限されるものではないわけですね。
 
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小学4年生で疑問を持ったってすごいですよね。


だって、言われるままに使う子供たちって結構いますから。

で、答え方なんですけど、そんなにも難しく考えなくていいと思います。私だったら小学4年生にこのように教えます。

まず、足して9になるような1桁の数字を質問します。
 →当然9しかないので、9で割り切れます。
次に、足して9になるような2桁の数字を質問します。
 →18,27,36,45,54,63,72,81 これらも9で割り切れます。
これらが成り立つことから、「各桁を足して9になる数字は全部9で割れるのではないか」という法則があるのではないかと予測してもらいます。で、実際に3桁の数字でも成り立つかどうか、また4,5,6…桁の数字でも同じようにできるかどうか確認をする。

で、この問題って、本当は
「各桁の数字を足して9の倍数になる数字は、9で割れる」
って所まで発展できますよね。「99も9で割り切れるけど、ほかに何かルールはないかな?」って感じで、発見してもらえれば一番いいでしょうね。
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A+B+C=9である時に、N=100×A+10×B+CとなるようなNが9の倍数であることを証明しなさい。

というような問の回答ならば以下の通りです。


N-(A+B+C)を計算します
N-(A+B+C)=100×A+10×B+C-(A+B+C)
         =99×A+9×B

ここで99も9も9の倍数ですので、『N-(A+B+C)』は9の倍数となります。
最初の命題より、N-(A+B+C)=N-9です。
このことからN=(9の倍数)-9なります。
9の倍数から9を引けば当然、9の倍数ですからNが9の倍数であることが証明できることとなります。

小学4年生にはちょっと難しい解答かもしれませんが、遅くとも6年生では理解できるレベルだと思います。この程度は判っているということだと思いますが、他に説明する方法が見当たりませんでしたので記載させていただきました。
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3桁の数にかぎらず、9の倍数は各桁の数字を加えると9の倍数になります。


したがって、「足すと9になる」というより「足すと9の倍数になる」が正しい。
(たとえば、「999」や「909」など)

「水道方式」でよくつかう道具(「タイル」とよばれる)で考えると、3桁の数というのは、「100」のタイル、「10」のタイル、「1」のタイルがそれぞれ数枚で構成されるわけですが、(たとえば「743」は「100」が7、「10」が4、「1」が3つ)
なければ、お手製で、100=10×10、10=10×1、1=1×1の正方形、長方形を方眼紙で何枚か作ってみましょう。お皿を9枚用意して。

「100」を9つに分けようと思えば、ハサミで「10」を10作るのですが、そのうち9つは分けられます。あまった「10」は「1」を10こに切り分けられます。このうち、9つは分けられます。最後に「1」が1つあまります。
「10」も「100」も(ついでに「1000」も「10000」も・・)、9で割れば「1」あまります。
「300」であれば「3」、「700」であれば「7」、「40」であれば「4」、それぞれ、各位の数字があまりになります。(「9」あるいは「0」であれば割り切れます。)
最終的に割り切れる条件というのは、「あまりを集めて9(9の倍数)になればいい」ということになります。したがって、各位の数字がそのままあまっているわけだから、各位の数字を足せば、9で割り切れるかどうかわかります。

ついでに、
それぞれの数字について、倍数みつけ方があるのですが、「7」の倍数だけは、「見つけ方」をやるより実際に7で割った方が手っ取り早いので、「7」は神秘的な数字といわれていました。
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9と99が9で割り切れるからです。

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Q0は公約数?

タイトルの通りなのですが、調べた二つのページでそれぞれ説明が
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僕としては、約数には0は含みませんし、
例えば2の約数は1、2で、4の約数は1、2、4
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違和感があるので0は公約数ではないと思うのですが。

Aベストアンサー

質問者様のご指摘のとおり、0は公約数ではないと、私も思います。
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二つのページともに”最小公約数”と書いてあったんですネ。

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Q任意の三桁の自然数を2つ並べると

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整式の約数・倍数についての質問です。
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【X(3乗)+8】 (X+2)(X(2乗)-2X+4)
ここまではあっているでしょうか??
この先公約数・公倍数の求め方が分かりません。
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  X(3乗)+8=(X+2)(X(2乗)-2X+4)
ですから
最大公約数は 共通する X(2乗)-2X+4 
最小公倍数は 最大公約数と残ったもので
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(2)一の位に6を下す。
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 28×2=56
 66-56=10(=先ほどの余り)
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(1)の2は商の十の位、(2)の2は商の一の位、(3)の10は商の余り。

A.22 余り10

Q公約数

180と270の公約数の求め方を教えてください!

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180 = 2×2×3×3×5
270 = 2×3×3×3×5

最大公約数= 2×3×3×5 = 90

公約数の定義として、自然数の範囲での定義を採用するなら
(普通はこの定義を用いる。特に小学校、中学校)
公約数={1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

[参考URL] 正の公約数には1も含まれます。
・ttp://ja.wikipedia.org/wiki/公約数
・ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/suu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/suu/kouyakusuu.html

公約数の定義として、整数全体の範囲での定義を採用するなら
(高校以上では問題文により、自然数の範囲の定義か整数の範囲の定義のどちらを指しているか判断する必要があります。)
公約数={1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90,-1,-2,-3,-5,-6,-9,-10,-15,-18, -30, -45, -90}
となります。

[参考URL]
・ttp://ja.wikipedia.org/wiki/約数
・ttp://kotobank.jp/word/公約数
・ttp://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12120832487

参考URL:http://kotobank.jp/word/%E5%85%AC%E7%B4%84%E6%95%B0

180 = 2×2×3×3×5
270 = 2×3×3×3×5

最大公約数= 2×3×3×5 = 90

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Q三桁の自然数のうち、各けたの数がすべて偶数であるものは何通りか。

三桁の自然数のうち、各けたの数がすべて偶数であるものは何通りか。
答えは100通りなんですが、解き方がわかりません。どなたかわかる方教えてください。
お願い致します!

Aベストアンサー

答えが100通りだと分かっているなら、全部書き出しても大した労力ではないです。
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Q公約数で

解答をみていてちょっと分らない部分があったのでご質問させていただきます。(表記しづらいので、数列Anで第n+1項を A(n+1)と表します)分らないのは、帰納法での証明の一部分です。また【 】の中は前問で証明されていたり条件として成り立っているとします。

【A(n+1) = An+Bn , B(n+1) = An … (1) 
 An,Bnは自然数で互いに素 … (2) 】

(1)、(2)からA(n+1)とB(n+1)は自然数である。
ここでA(n+1)とB(n+1)が互いに素でないとすると、
A(n+1)とB(n+1)は1より大きい公約数rを持つ。
________________________(ここまでは分ります)

(1)より Bn = A(n+1)-An
であるからrはBnの約数でもありrはAnとBn
の1より大きい公約数である。
______________________
この部分が分りません^^;どうしてrはBnの約数でもありrはAnとBnの1より大きい公約数であるのでしょうか?分る方お願いします。

解答をみていてちょっと分らない部分があったのでご質問させていただきます。(表記しづらいので、数列Anで第n+1項を A(n+1)と表します)分らないのは、帰納法での証明の一部分です。また【 】の中は前問で証明されていたり条件として成り立っているとします。

【A(n+1) = An+Bn , B(n+1) = An … (1) 
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(1)、(2)からA(n+1)とB(n+1)は自然数である。
ここでA(n+1)とB(n+1)が互いに素でないとすると、
A(n+1)とB(n+1)は1より大きい公約数rを持つ。
_______...続きを読む

Aベストアンサー

>A(n+1)とB(n+1)は1より大きい公約数rを持つ。
ここから
A(n)=B(n+1)もrの倍数です。

つまり、A(n+1)もA(n)もrの倍数です。

よって、
>Bn = A(n+1)-An
の右辺はrの倍数からrの倍数を引いたものなので、全体もrの倍数。
つまり、B(n)もrの倍数である事が分かります。

A(n),B(n)はどちらもrの倍数である事が分かりましたから、rはA(n),B(n)の公約数です。rは1より大きいと仮定していたので、

>rはBnの約数でもありrはAnとBnの1より大きい公約数である。

となります。

言葉で説明しましたが、
A(n+1)=r*a(n+1),B(n+1)=r*b(n+1)などとけば、分かりやすいと思います。

Q9で割れる整数の規則性

たとえば3桁の整数で「351」だったら、それぞれの位の数字を足すと3+5+1=9になります。
この数字が9で割り切れることができれば、もとの数字「351」も9で割り切れるというのをご存知の方も多いと思いますが、これってなんでそうなるのか分かる方いらしたら教えてください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

簡単のために 3桁の数で。
100の位の数をa
10の位の数をb
1の位の数をcとします。
そうすると
すべての3桁の数は
100a+10b+c であらわせます。
続いてこの式を変形しますと、
100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a+9b+(a+b+c)に注目してください。
99aと9bは9の倍数ですね。
となると(a+b+c)が9の倍数ならば99a+9b+(a+b+c)は9の倍数になります。ここでa+b+cは各桁の数の和なので3桁の数は各桁の数の和が9の倍数ならば 9で割り切れることが証明されます。

同様に4桁
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
5桁
10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
6桁、7桁…とどの桁でも通用することが想像できます。

昔、確か…千葉大学の過去問でこの証明を見た気がします。
あと京都大学の過去問で7の倍数に関するこの手の証明を見た気がします。なかなかきれいな証明で好きです。

簡単のために 3桁の数で。
100の位の数をa
10の位の数をb
1の位の数をcとします。
そうすると
すべての3桁の数は
100a+10b+c であらわせます。
続いてこの式を変形しますと、
100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a+9b+(a+b+c)に注目してください。
99aと9bは9の倍数ですね。
となると(a+b+c)が9の倍数ならば99a+9b+(a+b+c)は9の倍数になります。ここでa+b+cは各桁の数の和なので3桁の数は各桁の数の和が9の倍数ならば 9で割り切れることが証明されます。

同様に4桁
1000a+100b+...続きを読む

Q22に対して、1以外に公約数を持たない数

100から200までの自然数で、「22に対して、1以外に公約数を持たない数」
とは、どういうことですか?
日本語の意味が分からないです。あと、解き方も教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

「100~200までの ある数と 22の公約数が 1だけの数は何ですか?」
という意味です。

  たとえば、100の場合、 100 と 22 との公約数は 1と 2なので
 対象外です。

Q1/9x9と9/9は同じ答になるのでしょうか

実は小学生の頃から答のでない問題があります。どなたか解りやすく証明して下さい。

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0.9999999.....になってしまいます。
一方
1/9x9=1になります。
0.999999.....は 1 にはならないと思うのですが、、。

Aベストアンサー

質問者さんの疑問は、以下の常識に基いていると思います。

(a) ある実数を十進小数で表現する方法は必ず一つだけ存在する。言い換えれば、十進小数の表現が違えば異なる実数である。

あるいは、本質的に同じですが、以下のように書くこともできます。

(b) 二つの小数について、小数点以下第1桁の数値を比べ、第2桁の数値を比べ…というように比較していき、最後まで同じであれば両者は等しく、違うものがあれば両者は異なる。

しかし、(a), (b) は、有限小数についてだけ考える場合に成り立つものです。無限小数も含めて考えると成り立たない場合があるのです。

我々の感覚は有限なものしか感じ取れないので、無限について考えると色々と常識に合わないことが出てきます。無限とはそういう不思議なものであると割り切り、感覚的には変でも論理的な考察に基いているならば、正しいと判断することが必要です。

最後に、無限が常識に合わない例をもう一つ挙げておきます。

「自然数と正の偶数は、個数が等しい」


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