二項定理

こんにちは。私は高校一年生です。

私は今数Ａという教科で順列組み合わせから徐々に二項定理に入っていったというカタチでして、
授業の進み具合的にも私の理解度にしても複雑な計算などですとアップアップになってしまうのでなるべくわかりやすくお願いいたします。m(_ _;)m

二項定理のどこがわかんないかといいますと、
なんだか公式？のような、nＣr×ａ^r×ｂ^(n-r)というのまでは…なんとか理解したつもりなんですが、
この公式はなにを求める公式なんですか？展開して計算したあとの答えなんですか？？
たとえば問題が(ａ+ｂ)^3として、nを３、rに0,1,2,3を代入するんですよね？(…あってますよね？^^;)
すると、3Ｃ3×ａ^3＋3Ｃ2×ａ^2ｂ＋3Ｃ1×ａｂ^2＋3Ｃ0×ｂ^3になると思うのですが…。
後はこのコンビネーションを計算して、
ａ^2＋３ａ^2ｂ＋３ａｂ^2＋ｂ^3　で、いいのでしょうか？

しかし私ホントに二項定理の概念？というのでしょうか、
ただ公式みたいなものを覚えてみただけーな状態ですので、
イチからみっちりと教えていただけると尚幸いです。

よろしくおねがいいたします！！

No.3 ベストアンサー 回答者： goma_2000 回答日時： 2005/10/18 16:22

他の方たちより判りやすいかどうか自身がありませんが。

。。

復習---
組み合わせのnCrの意味は、n個の中からr個取り出す時の取り出し方ですよね。

１）袋の中に、a,b 2つの玉が入っている。
２）その中から1つの玉を取り出す。
３）上記の試行を独立にn回繰りかえす。
独立にとは、前の試行の影響がない状況で行うということで、玉を取り出した後気元に戻すと考えてください。

この時に、aの玉がr個(=bの玉はn-r個)取り出される取り出され方は？ということですね。


本題---
二項定理はこの性質を使って、2項の和のn乗を計算した公式です。

(a+b)^nは、a,bどちらかのn回の積の項の和になっています。

a,bは可換(a*b=b*a)なので、出てきた順序に依存しません。よって、aが出てきた回数、bが出てきた回数の同じものを、「まとめる」ことが出来ます。

つまり、
(a+b)^n=Σ_r α*a^r*b^(n-r)
ですね。

このとき、αはどうやってもとめるかということですね。同じものをまとめるので、順列ではなく組み合わせになるということですね。

つまり、
(a+b)^n=Σ_r nCr*a^r*b^(n-r)
です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
遅くなってしまいたいへん申し訳ありません…！
復習までしてくださって、最初から指差し確認しつつ理解することができました。＾＾
二項定理の定義？というんですかね、
＞二項定理はこの性質を使って、2項の和のn乗を計算した公式です。
この部分が理解不足でしたので、ここでバシッとおっしゃられていただいて非常に納得いたしました。
わかりやすい説明ありがとうございました！

お礼日時：2005/11/03 00:55

No.2 回答者： debut 回答日時： 2005/10/18 02:05

＞展開して計算したあとの答えなんですか？？

　　　その通りです。
＞たとえば問題が(ａ+ｂ)^3として、nを３、rに0,1,2,3を代入するんですよね？
　　　あってます。
＞ａ^2＋３ａ^2ｂ＋３ａｂ^2＋ｂ^3　で、いいのでしょうか？
　　　正しいです。

例えば(a+b)^3の計算なら、(a+b)(a+b)(a+b)として、「それぞれのカッコからa,bのいずれかを
とってきて、それらの積を作る」というのが基本的な考え方です。
１番目のカッコからはa,２番目のカッコからはb,３番目のカッコからはaをとってきてかけるとa^2b
というぐあいですが、かけた結果がa^2bになるのは、他にも「１番目a,２番目a,３番目b」と
「１番目b,２番目a,３番目a」もありますね。そこで、aの選び方の個数をＣで計算するのです。
a^2bならば、３つのカッコ[１番、２番、３番]からaを２個とる組み合わせの数で3Ｃ2となります。
また、aやbにつく指数ですが、これはもうわかるように、それぞれのカッコからとってきたaやbの
個数を表しているわけです。

すると、例えば (a+b)^5 を計算したときに出てくる項の中で a を２個、bを３個とってきてかけた
部分の項は 5C2a^2b^3で10a^2b^3 となるわけです。
わかったでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます！
お礼が遅れてしまい申し訳ありません；
結局は組み合わせの要領なのですね？
わかりやすい説明ありがとうございました！！

お礼日時：2005/11/03 00:52

No.1 回答者： shion121 回答日時： 2005/10/18 01:23

>ａ^2＋３ａ^2ｂ＋３ａｂ^2＋ｂ^3　で、いいのでしょうか？

正解です

二項定理は、仰るとおり、
(a + b)^n = Σ nCr*a^r*a^(n-r)
というものです。


ところで、(a + b)^nというものを展開したときに、

a^n, a^(n-1)*b, a^(n-2)*b^2, ... , b^n

という項が出てくることは想像が付くかと思います。


さて、ここでよく分からなくなるのはnCrの部分でしょう。

(a+b)^3を考えて見ましょう

(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)

例えば、a^2*bという項を作ろうとすると
(A + b)(A + b)(a + B)
という風に選んでかけてやれば、できることがわかります（大文字が選択した部分）。
しかし、これ以外のパターンでもa^2*bを作ることができますね？
(a+B)(A+b)(A+b)や(A+b)(a+B)(A+b)がそうです。

つまり、『３個ある(a+b)という塊から、２個aを選ぶ（残り１個は自動的にbになる）』、a^2*bというものを作ることができます。
３個あるものから２個選ぶ、これは何通りありますか？





3C2ですね？（ここが分からなければ組み合わせを復習してください）




同じように、a*b^2なら、aを３個の中から一個選ぶので

3C1 a*b^2

となります。




これは、何乗になっても同じです。

(a+b)^nの、a^r * b^(n-r)についてくる係数は


n個の中からaをr個選ぶんですから


nCr


となります。




なお、aをr個選ぶと考えnCrとなりましたが、bをn-r個選ぶ場合と考えてnCn-rとしても、当然ですが同じになります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
そして大変お礼が遅くなってしまい申しわけありません！
なるほど！その公式の根拠が見えてきました！
わかりやすい説明ありがとうございました！

お礼日時：2005/11/03 00:49