確率論的には

いままでに15回に1回の頻度で発生していた現象に対してある対策を実施しました。
対策後、何回まで発生が無ければ対策の効果があると言えるのでしょうか？

No.6 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2005/10/25 19:56

この問題を数学チックに書き直すと、

「確率 p で起こる事象があり、ある操作をしたところ p~ になった。p=p~ かどうかを検定したい」
といった事でしょうか。

一番素直な方法は、二項分布を利用する方法ですね。
n 回中 m 回の発生が観測されたとしましょう。すると二項分布から
Prob(X=m) = nCm p^m (1-p)^(n-m)
となります。
例えば100回実験して1回発生したとすれば、その確率は
Prob(X=1) = 100 (1/15) (14/15)^99 ≒ 0.0072
程になります。したがって、p=1/15 であったとすればほとんど起こらない事が起こった＝p=1/15ではなかった、したがって「統計的に有意な差があった」と結論づける事が出来ます。


別の方法として、連続不発生回数に基づいた検定も出来ます。
確率 p で起こる現象が m 回連続で起こらない確率はポアソン分布で表現できます。
y 回の試行で k 回起こる確率がポアソン分布によって与えられています。y 回の中で一回も起こらない確率はポアソン分布の分布関数から
Prob(X=0) = exp(-λ)
となることがわかります。ここでλは y 回の中で平均して起こる回数なので、py と書けますから y 回連続で起こらない分布は
Prob(Y=y) = exp(-py)
とであることが分かります。これは y 回行ってその全部で起こらなかった場合の確率です。
p=1/15 の下では、平均して 14 回連続して発生しません。ざっと計算したところ、45回で5%以下、70回で1%以下になるようです。
逆に言えば、例えば70回連続で起こらなかった場合、p=1/15 であったとすれば 1 % しか起こらない事が起こった＝p=1/15ではなかった、したがって「統計的に有意な差があった」と結論づける事が出来ます。

この回答への補足

回答遅くなり申し訳ありません＆回答ありがとうございます。
上記のような計算が出来るのかな？と思い質問させて頂いていたのですが、
説明不足で皆さんになかなか伝わらなかったようです。
大変参考になりました。ありがとうございました。

補足日時：2005/10/28 09:00

No.5 回答者： neKo_deux 回答日時： 2005/10/25 16:58

> 15回に1回の頻度で発生していた現象に対してある対策を実施しました。

「頻度を30回に1回程度に抑えるための対策」
「頻度を15万回に1回程度に抑えるための対策」
「現象が起きなくなるための対策」

どれなのか？
によっても考え方が変わってくると思います。


> 対策後、何回まで発生が無ければ対策の効果があると言えるのでしょうか？

２番目や３番目であれば、過去のデータで現象が起きなかった最長の回数、平均の回数などで「改善が見られた」とするとか、質問者さんなり相手なりが納得するなら実務上は問題ないんですが…。
逆に、ケチつけようとすると何回やっても「あと１回やったらどうなんだ？」「あと２倍やったら？」とゴネる事は可能です。

No.4 回答者： aburakuni 回答日時： 2005/10/25 16:51

効果の効果測定を確率で図る訳ですが、100回程度では如何こう言えそうもありませんね。

仮に、１度も起こらないと言う事象だけを測定するとして、従来の確率からは

10回で一度も起こらないのは50％強、30回で12％強、100回で0.2％弱です。

確率が半分になっていた場合、10回で71％強、30回で36％強、100回で3％強です。

ちなみに確率の比が10倍を超えるのが66回目で、100倍を超えるのは132回目です。
半分の確率にしたつもりで132回目まで起きなくても、1％は効果が無く偶然の可能がある事になります。

従って、「何回まで発生が起きなければ」と言う検証の仕方では1000回やっても効果の測定は難しく、通期で起こった回数を調べる方法で対策の効果を測定する事になると思いますが・・・。

No.3 回答者： goma_2000 回答日時： 2005/10/25 15:00

何回までという決め方が出来ないという理由は既に他の方が述べられているので、ここでは、何回か試行して確率が求まったとして、それをどうしたら確認できるのか？ということを簡単に解説します。

これは、統計的な検定を用いて行います。（単に確率の大小を比較するだけでは駄目ですよ。）

統計的な検定では、以前の確率分布が1/15であったとします。この確率分布の場合に、（対策後の）現象が発生する頻度がどのくらいの確率で起こるかを計算することで行います。

つまり、以前の確率モデルのままであった時に、対策後の現象の発生頻度が起きる確率を計算し、それが小さければ、この確率モデルは正しくないというということですね。統計用語では仮説を棄却するということになります。（計算する確率をP値と呼びます。）

では、P値はどのくらい小さければよいのか？ということですが、通常は5%（0.05）位で検定を行います。

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2005/10/25 14:41

効果があったかどうかを検証する方法として、何回まで発生がなければというように考えるのがおかしいのではないかと思います。

その現象が全く出ないようにすることが目的なら、一度でも出ればダメですし、出現頻度を下げたいのであれば、目標とする出現頻度以下になっているかどうかを確かめなければならないと思います。
何回目に初めて出現したかということだけでは出現頻度は計算できないのではないでしょうか。
例えば100回とか1000回とか目標値に対して十分大きな回数で初めて出現した（あるいはそれでも出現しなかった）場合は出現頻度が目標値以下になっていると確かめられると思います。。
しかし、10回目や20回目に出現したからといって、その時点では効果が無かったと結論づけることは出来ないと思います。

何回くらい試行して出現率を計算すればよいのかということであれば、目標値に応じて求めることが出来るのではないかと思います。

No.1 回答者： fieldlease 回答日時： 2005/10/25 14:08

結論から言うと自分で基準を設けることをお勧めいたします。

確率的な解は見出せません。

ちなみにですが、対策を施した後何回調査を行うのでしょうか。
極論すると１０００回やって統計をとりますでしょうか。
また、対策を打って１回も出ないことがよいことなのでしょうか。

現実的に統計がとれる範囲を踏まえて基準を設定されるとよろしいかと思います。
ちなみに個人的基準になりますと、1/30～1/50以上は必要ではないかと考えます。
理由としましては、対策の内容にもよりますがやはり倍以上は効果が出ないと意味がないと思われます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>対策を施した後何回調査を行うのでしょうか。
この現象を発生する実験自体が1～2日に1回しか行えません。
また、当然ながら納期が決まっておりせいぜい残り50～100回程度しか出来ません。
>また、対策を打って１回も出ないことがよいことなのでしょうか。
Bestは1回も起きないことですが、目標値は1/100回程度まで下げたいと考えています。
実験回数が稼げない上に、対策の効果が分かりにくいため統計的に出せる方法がないかと思い
質問させていただきました。

補足日時：2005/10/25 16:09