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中心(0,0,0)、半径rの球があるとき、
球上(球の表面)の任意の点(座標(x,y,z))を求める方法を
教えていただけたらと思います。

どうぞよろしくお願いいたします。

A 回答 (6件)

#4です。

補足に回答します。
例えば半径1の球上のとある点P(x,y.z)=(1,0,0)を曲座標表示するとどうなるか?という御質問かと理解しました。

線分OPをx-y平面上に正射影したもの(ここでは線分OPそのままですが)とx軸とななす角はθ=0(rad)(いわゆる0度)
線分OPとz軸とのなす角φ=π/2(rad)(いわゆる90度)

従って曲座標表示ではP(r、θ、φ)=(1、0、π/2)

確認のために式に当てはめて元のxyz座標を求めてみると
x=1*sin(π/2)*cos(0)=1*1*1=1
y=1*sin(π/2)*sin(0)=1*1*0=0
z=1*cos(π/2)=1*0=0
元の直角座標系の点P(x,y.z)=(1,0,0)と一致するので正しいことが確認された。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!
納得です。
丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/10/28 10:10

#3です。

補足します。

> ”l ”は何をさしているのでしょうか??

とのことですが、求めたい点(x,y,z)の z で xy 平面と水平に球を切ったときの半径になります。
とはいえ、これを求めるのは面倒なので、パラメータとして用いる事になるでしょう。
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平面座標の表示方法で、P(x、y)座標の他に


曲座標表示P(r、θ)があるのはご存知でしょうか。
r:原点からの距離
θ:x軸との角度
これを知ってることを前提としますが、曲座標の空間版があります。

P(r、θ、φ)
r:原点からの距離 (r≧0)
θ:線分OPをx-y平面上正射影した図形のx軸との角度 (0≦θ<2π)
φ:線分OPとz軸との角度(0≦φ≦π)

これを用いると半径r(>0)の球は以下のようになります。
x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ
0≦θ<2π
0≦φ≦π
θとφに好きな値を代入すればx、y、zが求められます。

この回答への補足

butcherjpさんに教えていただいた式をさっそく試してみたのですが、
ひとつ疑問点があります。
・半径は1とします
・Y軸を縦に取りX軸を横に取る(X-Y平面?)
・Z軸線分は0とする
求める点を(X,Y)→(1,0)とした時、
X=1
Y=0
Z=0
この座標位置を教えていただいた式に当てはめて計算すると、
X=1×0×1=0
Y=1×0×0=0
Z=1×1=1
になってしまいます。
θ、φの考え方が間違っているのかもしれませんが、
もしお時間が有りましたらご回答いただければと思います。
よろしくお願いいたします。

補足日時:2005/10/27 09:44
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
曲座標、、聞いたことがあるぐらいで、詳しくはわかっていません。。
これから調べてみたいと思います。
とても参考になりそうな公式(解?)を教えていただき
ありがとうございます!!

お礼日時:2005/10/27 09:20

#1のかたや#2のかたの回答で良いと思いますが、もう少し簡単に。



x = l sin θ
y = l cos θ
とおくと x^2+y^2=l^2 なので
l^2 + z^2 = r^2

以上をまとめて
(x,y,z) = (l sinθ, l cosθ, ±√(r^2-l^2) )
ただし 0<=θ<360。

この回答への補足

at9_amさんのご回答とても、興味深いので1つ質問をさせてください。
すごく初歩的な質問かもしれませんが、、、
”l ”は何をさしているのでしょうか??
もしよろしければ、ご回答よろしくお願いいたします。

補足日時:2005/10/27 00:41
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点Q(x、y、z)を(x、y)平面に垂直に落としそこをpとします。

するとその点Pの標は(x、y)ですね。そしてその点の高さがzになります。Pと原点O及びQは直角三角形なのでピタゴラスの定理より、
QOの長さ=球の半径rとして 
(QO)の2乗=(PQ)の2乗+(OP)の2乗、
∴r^2   = z^2     +(x^2+y^2)
QED
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この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとう御座います!
参考にさせていただきます!

お礼日時:2005/10/27 00:40

ご質問の球の方程式は


x^2 + y^2 + z^2 = r^2
です.

これがわかれば解けると思います.
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この回答へのお礼

ご回答ありがとう御座います。
参考にさせていただきます!!

お礼日時:2005/10/27 00:38

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