必要十分条件（高校レベル）

Question

「ab≧1 であることは a≧1/b であるための必要条件でも十分条件でもない」

についてです。ab≧1 に関しては、b の正負によって符号が逆になるので、a≧1/b または a≧1/b と考えて、「必要条件かな？」と考えましたが、間違いでした。

このように場合分けする場合は、b が何であっても成り立つ、のではないので、その時点で何も関係なくなるのでしょうか。

説明もどうしたらよいのかわからず、わかりにくいかもしれませんが、お願いします。

age_momo · Accepted Answer

＞b が何であっても成り立つ、のではないので、その時点で何も関係なくなるのでしょうか。

その考えでいいと思いますよ。
参考URLのベン図を借りて考えて見ましょう。
必要条件、十分条件という関係が成り立つためには6-3図の様に片方がもう片方に完全に含まれている必要があります。
必要十分条件の場合は完全に重なります。
質問のケースを考えるとbが正の場合はab≧1に含まれますが、bが負の場合は含まれません。URLでいうと6-2図になります。この関係には十分条件も必要条件も成り立ちません。

参考URL：http://noribeat.s38.xrea.com/math/math01.html

pyon1956 · Answer

領域を表示してみましょう。
ab＝１のグラフを描いたとき、ab≧１はグラフの外の側です。a≧1/bはグラフの上の側です。このときa<0において、２つの領域は重ならないので、この二つの領域は包含関係にありません。必要・十分というのは2つの真理集合で、一方が他方に完全に含まれるときに言うものですから、a<0ではどちらもどちらを含まない、ゆえに必要条件でも十分条件でも無い、になります。

gil3141 · Answer

問題を整理しましょう。
PがQの　必　要　条件である（１）が真であれば、
Pという条件の中にQという条件がすっぽりと
はまりこむことになります。
つまり、この場合、「Qならば　絶　対　に　P」（２）
となります。
従って、（２）が成立しないことを示せば（１）が
否定されます。
本問では、「ab≧1 であることは a≧1/bの必要条件」
が真であるならば、（２）が成立するはずが、
ｂの符号によっては、a≧1/bでもab≧1とはならない
場合があるので、（１）は成立しません。

次に、PがQの　十　分　条件である（３）、が真で
あれば、
Qという条件の中にPという条件がすっぽりと
はまりこむことになります。
つまり、この場合、「Pならば　絶　対　に　Q」（４）
となります。
従って、（４）が成立しないことを示せば（３）が
否定されます。
本問では、「ab≧1 であることは a≧1/bの十分条件」
が真であるならば、（２）が成立するはずが、
ｂの符号によっては、ab≧1でもa≧1/bとはならない
場合があるので、（３）は成立しません。

以上のように、必要条件が満たされるか？十分条件
が満たされるか？を順に判定すれば、必要、十分、
必要十分のいずれであるかを判定できます。

必要十分条件（高校レベル）

＞b が何であっても成り立つ、のではないので、その時点で何も関係なくなるのでしょうか。

領域を表示してみましょう。

問題を整理しましょう。

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