0から1まで単調に増加する関数f(x)について,
0≦x≦1/2 では f(x)
1/2<x≦1  では 1-f(x)

を積分する場合,
f(a)=1/2
なるaを求めずに解きたいのですが
できるかた教えてください.
ヒントだけでも良いです.

A 回答 (6件)

どうも煮詰まっちゃってるみたいですね。


f(x)が何者かさっぱり分からない状態なので、計算できるかどうかは度外視して一般論。

被積分関数を
g(x) = if f(x)≦1/2 then f(x) else 1-f(x)
と書きます。すると、
g(x) = min{f(x), 1-f(x)}
であり、
g(x) = 1-max{f(x), 1-f(x)}
とも書けます。ここに、min{a,b}はaとbの小さい方、max{a,b}はaとbの大きい方を表す演算です。

 f(x)の単調性は利用しませんで、「超離散化公式」という変な名前の公式を利用します。どういうものかと言うと、
列 X[j] (j=1,2,....,N)について、集合X={X[1],X[2],.....,X[N]}を考えると
max X = lim ε ln( Σ(a[j]exp(X[j]/ε)))  (超離散化公式)
ここにlimはε→0の極限、Σはj=1~Nの総和、ln()は自然対数、exp()は指数関数です。また、列a[j](j=1,2,....,N)は任意の正の定数の列です。

ご質問は
S=1-∫max{f(x), 1-f(x)} dx (積分はx=0~1)
を求めればよいので、
S=1-lim ε∫ ln( A exp(f(x)/ε) + B exp((1-f(x))/ε)) dx
ただし、AとBは任意の正の定数、limはε→0の極限、積分はx=0~1、
というのが計算できれば一応オッケーです。(A,Bが幾らであろうと答は変わりません。)

こんなの計算するぐらいなら、f(x)=1/2を解く方が簡単そうな気がしますけど…
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この回答へのお礼

みなさま,お返事がおそくなりましてすみませんでした.

超離散化公式でも陽に解は出ないようです.

やはり数値解で我慢したします.

(北大の問題ではないんです…)

時間を割いていただきまして,
心より,お礼を申し上げます.

お礼日時:2002/04/03 00:47

すいません。

訂正です。
「単調に増加する→f(x)=1-f(x)とする。(北大式に直す。ばればれ) 」
を、
「単調に増加する→f(1-x)=1-f(x)とする。(北大式に直す。ばればれ)」 と直してください。

北大の問題ではこうあります。探すの苦労したぜ。
「関数f(x)が0≦x≦1において常にf(1-x)=1-f(x)なる関係を満たすとき、定積分
        ∫(from0to1)f(x)dx
の値を求めよ」
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No.3の回答がでたので、改めてご質問が



0≦x≦1/2 では f(x)
1/2<x≦1  では 1-f(x)
を積分する

のか

0≦f(x)≦1/2 では f(x)
1/2<f(x)≦1  では 1-f(x)
を積分する

のか、どっちかはっきりしてたも。
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単調に増加する→f(x)=1-f(x)とする。

(北大式に直す。ばればれ)
y=f(1-x)はy=f(x)をx=1/2について対称移動させたもの。
よって、
∫(from0to1)f(x)dx=∫(from0to1)f(1-x)dx…(1)
よって、
∫(from0to1)f(x)dx+∫(from0to1)f(1-x)dx=2∫(from0to1)f(x)dx=1

∴∫(from0to1)f(x)dx=1/2

受験生だと思うので一応解説。
この問題は北大の問題で、あなたにこの問題を出した人は「f(x)=1-f(x)」というところを間違えてしまったんでしょう。この問題を見て推測できるのは、あなたもその先生もかなりの実力者だということです。単調増加はy=logxがらみで入試頻出なので、おそらくその辺の問題を一緒に作っていたんでしょう。この問題は「値を求める→等式(方程式)を立てる(公式含む)→それで駄目なら不等式を立て、評価かはさみうち→それでも駄目なら必要条件の利用と十分性の検討」
の方法論で言えば等式があるので、∫(from0to1)f(x)dxを未知数とした方程式を立てることに着目することに活路を見出すしかない。
そのためには「対称変換の知識」を持っていなければならない。この知識は「大学ヘの数学・数学ショートプログラム」という本で複素数を使って書かれているので参照されたし。このテクニックを一次変換でやるか複素数でやるかでその人の年齢と受験生に対して親切であるかがわかるので逆に評価してやると良い。

stomachmanさん、おひさしぶり。といっても誰だかわからないでしょうね。
最後に接触したのは「包洛線」のところだったけかなあ。(笑)
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No.1の訂正の通り、質問に書き損じがあるとして…



「f(a)=1/2を解かないで」という条件から、

・「fの逆関数は陽には分からない」
・「数値積分をやるのではなく、解析的に積分したい」
という意味だと思います。てことは、
・「f(x)はデータの列じゃなく、(ややこしい)式で与えられている」
・「f(x)に含まれる変数はxだけじゃなく、他にも変数を含んでいて、f(a)=1/2となるaがそれら他の変数に依存する」
という構造なのでしょう。さもなければ、数値的にf(a)=1/2を解いてしまえば良いのですから。

んー。そうなると具体的にf(x)の中身を見せて貰って考える以外にないと思います。試しにupしてみません?

この回答への補足

みなさますみません.
少し私用が立てこんでおりまして
もう少しお待ちください.

補足日時:2001/12/11 09:24
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0≦f(x)≦1/2 では f(x)


1/2<f(x)≦1  では 1-f(x) の間違いだと思いますが、そのように解釈して回答します。

証明できていませんが、直感的に無理です。
f(x)の不定積分を{F(x)+a}とし、f(x)=1/2となるxの値をpとすると、求める値は
 {F(p)-F(0)+a*p} + {-a*(1-p)+F(p)-F(1)}
となり、これを整理して、
 2*F(p) - F(1) - F(0) + 2*a*p - a
と計算できますが、どうしてもpの値が無いと計算不能になると思われます。

関数が特殊な形(例えば2次関数など)に特定できれば可能性が無いとはいえないかもしれませんが、私の知識では一般的に解けそうもありません。

以上。
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この回答へのお礼

全く申し訳ありません.
仰る通りのミスであります.
ご負担をお掛けしました.

やはり無理なのでしょうか.
幾何的に考えてみているのですが,今のところメドがたっておりません.

とにもかくも有難うございます.
ご迷惑お掛けしました.

お礼日時:2001/12/06 16:13

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