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早速ですが、質問いたします。
問.無限に長い直線電流I[1]と半径aの円電流I[2]とが同一平面内に、円の中心から直線電流までの距離がd(d>a)の位置に置かれたとき、その間に作用する力を仮想変位の方法を用いて求めよ。
と言う問題で、円電流I[2]上の或る任意の点をPとしそのベクトルを→aとするならば、d方向とのなす角をθとすれば、点Pは(acosθ,asinθ)と表せる。
仮想的にd方向にΔdだけ変位させると、アンペアの法則より、
∫Hdl=H・2π(d+Δd+acosθ)=I[1]となるから、
H=I[1]/{2π(d+Δd+acosθ)}
B=μ[0]Hより
B=μ[0]I[1]/{2π(d+Δd+acosθ)}
となります。
一方、変位させる前は、同様に
B'=μ[0]I[1]/{2π(d+acosθ)}
となります。
ここで、微小変化した磁束Φを求めるため、
仮想変位による磁束Φと変位させる前の磁束Φ'を求める。
Φ=BSだから
Φ=∫Bdθ [asin(√{1-(Δd)^2/(4a^2)})~ asin(-√{1-(Δd)^2/(4a^2)})]
となりますが、
(Δd)^2→0より
Φ=∫Bsθ [1~-1]
更に、t=tan(θ/2)と置いて整理すれば、
Φ={μ[0]I[1]/{π√(d+Δd)^2-a^2)}}[atan√{(d+Δd-a)/(d+Δd+a)}t]
※tの積分範囲は1~-1。
同様にして、
Φ'=B'S=∫B'dθ={μ[0]I[1]/{π√(d^2-a^2)}}[atan√{(d-a)/(d+a)}t]
※tの積分範囲は-1~1。
ここで、
ΔΦ=Φ-Φ',ΔW=I[2]ΔΦ,求める力F=ΔW/Δdの関係があるので、
F=I[2]ΔΦ/Δdとなる.
しかし、
自分は、ΔΦ={2μ[0]I[1]/π}[{1/√(2dΔd+d-2-a^2)}(atan√{(d+Δd-a)/(d+Δd+a)})+{1/√(d^2-a^2)}(atan√{(d-a)/(d+a)})
となり、ここから一歩も進めません...。
答えは『μ[0]I[1]I[2]({d/√(d^2-a^2)}-1)』と分ってますが、どうすればいいかわかりません。
どなたかご教授願います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>I[1]に平行な直線上の点のBの値は等しいので、I[2]の円の微小面積dSはI[1]と平行な微小矩形としなければなりません。
そうすると、Φ=∫BdS=∫B*(-2a^2)(sinθ)^2dθ[0~π] ・・・(1)
ですが、何故そうなるのか今市分らないのですが、
ということですが、電流I[1]のつくる磁束Φを求めるには、I[2]の円の内部を貫く磁束を計算すればよいのです。つまり、ΔΦはI[2]の円の内部を貫く磁束の変化を示す量です。
電流I[1]のつくる、円の内部の磁束密度Bの大きさは円の内部であっても、場所によって異なります。ところが、円の内部にあって、直線電流I[1]と平行な直線上の点のBの値は等しい(I[1]のつくる磁場の強さはI[1]を軸として対称)ので、そこに円の一部として、微小な矩形をつくり、その面積をdSとします。
このことは、x,y座標で、半径aの円の面積Sを求めることと同じです。つまり、dS=ydx です。
また、y=a*sinθ , x=a*cosθ ですから、
dx=(-a*sinθ)dθ となります。したがって、
dS=ydx=(-2a^2)(sinθ)^2dθ [θは0~πです]
となります。ここで、2が掛けてあるのは、y<0の部分の微小矩形も入れたからです。(2を掛けないと、上半面だけを考えていることになりますから、Sが半円になってしまいますね。)
わかりにくければ、図を描いて考えて下さい。
わかりやすい説明ありがとうございます。
お陰で理解できました。
ただ、ojisan7さんがmathematicaで計算した部分を普通にゴリゴリ計算するのが大変でした^^;
また機会があればご教授いただけると嬉しいです。
No.2
- 回答日時:
No1の回答はまだ途中でしたから、計算を続けてみました。
Mathematicaの積分では、d+Δd=akとおきました。
∫(sinθ)^2/(k+cosθ)dθ[0~π]
=π*√{(k-1)/(k+1)}*(-k-1+k√{(k+1)/(k-1)}
=(k-√(k^2-1))*π
となります。したがって、
Φ=-μ[0]I[1]a/π*∫(sinθ)^2/(k+cosθ)dθ[0~π]
=-μ[0]I[1]a(k-√(k^2-1))
=-μ[0]I[1](d+Δd-√{(d+Δd)^2-a^2}
Φ'も同様に、
Φ'=-μ[0]I[1](d-√{d^2-a^2}
となりますから、
ΔΦ=Φ-Φ'
=-μ[0]I[1](Δd+√{d^2-a^2}-√{(d+Δd)^2-a^2}
≒-μ[0]I[1](Δd-dΔd/√(d^2-a^2)
=-μ[0]I[1]Δd(1-d/√(d^2-a^2)
となります。したがって、最終的な結果は、
F=I[2]ΔΦ/Δd=μ[0]I[1]I[2]({d/√(d^2-a^2)}-1)
となります。
ふ~、疲れました。
再度回答ありがとうございます。
こういった問題は、計算が大変だと思いますけれど、
仮想変位法が面倒を招く原因になってますよね。
この場合は、明らかにもう一つのやり方のほうが、アプローチ的には適切ですよね。
これだけ書くの疲れたとのことですが、本当にすいませんm(_ _)m
No.1
- 回答日時:
設定されている問題の図の位置関係がよくわからないのですが、
>Φ=BSだから
Φ=∫Bdθ [asin(√{1-(Δd)^2/(4a^2)})~ asin(-√{1-(Δd)^2/(4a^2)})]
の部分は正しいでしょうか?I[1]に平行な直線上の点のBの値は等しいので、I[2]の円の微小面積dSはI[1]と平行な微小矩形としなければなりません。そうすると、
Φ=∫BdS=∫B*(-2a^2)(sinθ)^2dθ[0~π] ・・・(1)
となると思いますが、どうでしょうか? (1)に、
B=μ[0]I[1]/{2π(d+Δd+acosθ)}を代入して計算すればよいと思います。結局、
∫(sinθ)^2/(k+cosθ)dθ[0~π]
という型の定積分が計算できればよいわけです。この型の計算は面倒なのでMathematicaを使ったら、
π*√{(k-1)/(k+1)}*(-k-1+k√{(k+1)/(k-1)}
となりました。
ともかく、図の位置関係がわからないので何とも言えません。補足説明をお願いできるでしょうか。
レスありがとうございます。非常に感謝しております。
>I[1]に平行な直線上の点のBの値は等しいので、I[2]の円の微小面積dSはI[1]と平行な微小矩形としなければなりません。そうすると、
Φ=∫BdS=∫B*(-2a^2)(sinθ)^2dθ[0~π] ・・・(1)
ですが、何故そうなるのか今市分らないのですが、もう少し詳しく御願いできますでしょうか?
他のところは、計算は大変そうですが、何とかなると思いますので。
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