電流による磁界につき、仮想変位を使って磁気力を計算すると逆方向になる件

以前、掲題の問題に関係する質問があり計算すると正負が逆の答えになった。色々調べた結果
面白いと思ったので考えてみて下さい。

1.　yz面に平行な無限平行導体板に一様な面電流 i[A/m]が流れており、導体板の間隔をxとす
　る。下の面の位置をx=0、上の面の位置をx=dとする。下の面の電流の方向を+z、上の面の
　電流の方向を-zとする。
　(1) 普通の計算
　　下の面による磁界はHy=i/2(x>0),-i/2(x<0)であり、上の面による磁界はHy=-i/2(x>d)
　　,i/2(x<d)である。したがって、合成磁界は Hy=i(0<x<d) , 0(x<0 or x>d)

　　下の面によるx=dの磁界は Hy=i/2。そこに流れる電流(-i)のローレンツ力は単位面積当た
　　り　Fz=iB=μ₀Hyi=μ₀i²/2　

　(2) 仮想変位による計算
　　単位面積当たりの磁界のエネルギーWは　W=(μ₀Hy²/2)d=μ₀i²d/2　だから
　　Fz=-∂W/∂d=-μ₀i²/2
　　となって、正しい答え(1)と符号が逆になる。

2.　間隔dの無限長平行導線に逆方向に電流Iが流れている。導線の半径をa(≪d)とする。
　(1) 普通の計算
　　よく知られたように、この時、単位長にかかる力は反発力で F=(μ₀/2π)I²/d

　(2) 仮想変位による計算
　　単位長の鎖交磁束Φはよく知られたように、Φ=(μ₀I/π)log(d/a) すると、単位長当たり
　　の磁界のエネルギーWは　W=IΦ/2=(μ₀I²/2π)log(d/a)
　　F=-∂W/∂d=-(μ₀I²/2πd)　となって、これも(1)の逆符号となる。

このわけは如何。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/12/23 14:03

#1です。

1.における電源の仕事の変化を計算して見ましょう。
x=dにある板を速度v(xが増える方向が正)で移動させることを考えます。
そのとき、磁界との相互作用で生まれる板の電流が流れる方向への電界の大きさEは
E=-vB
となります。

この電界が単位長さ・単位幅の領域で行う仕事率Pは
P=E*1*I=-vBI (電界×長さで電圧ですので長さ"1"を掛けます)

仕事は仕事率を時間で積分すれば得られます。
W=∫-vBIdt=-BId (B,Iは一定、vを時間で積分すると変位となる)

この分だけ電源が行う仕事が変化します。

この回答へのお礼

なるほど了解しました。分かり安い回答でした。私はIの変化を出そうとして詰まり
ました。
私が見た解答例は鎖交磁束を一定として（鎖交磁束が一定なら電磁誘導は起こらず、
そのまま仮想変位を使える）、Iの変化を出すものでした。

お礼日時：2018/12/23 16:42

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/12/23 07:20

電流を流している電界を作っている電源のしている仕事を無視しているから。

仮想変移を考える場合、仕事をしてるものがある場合は全て計算に入れる必要がある。

今回の場合、⊿dだけ移動しようとすると
⊿d>0の場合、ローレンツ力により電流を増やす方向に電界が発生する。よってもともとの電流を発生させている電界を作っている元の電源の仕事が減る。
⊿d<0の場合は同様に電源の仕事が増える。

この要因は磁界のエネルギーの増減よりも大きく符号が逆になります。

この回答へのお礼

さっそく、回答ありがとうございます。
なるほど、定性的に(2)の説明ではだめなことが分かりましたが、定量的な計算はどうなりますか？
あるいは無理でしょうか？

お礼日時：2018/12/23 08:42