
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
普通に順番に積分してできるようですよ.
使う積分公式は
(1) ∫{1/(c^2+t^2)} dt = (1/c) arctan(x/c) (c>0)
(2) ∫arctan t dt = t arctan t - (1/2)log(1+t^2)
の2つです.
まず,y で積分.
(3) ∫ {x/(x^2+y^2)} dy = arctan(y/x)
ですから
(4) ∫{x ~ x^2/4} {x/(x^2+y^2)} dy
= arctan 1 - arctan(x/4)
= π/4 - arctan(x/4)
次に x で積分すると
(5) ∫{(4)式} dx = (π/4)x - 4 arctan(x/4) + 2 log{1+(x/4)^2}
だから
(6) ∫{0 ~ 4} {(4)式} dx
= π - 4 arctan 1 + 2 log{1+1^2}
= 2 log 2
計算ミスがあるかも知れませんので,チェックよろしく.
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