∫∫ x/(x^2+y^2) dxdy
範囲 x^2/4<=y<= x , 0<=x<=4
が解けません。ヒントでもいいのでお願いします。

A 回答 (1件)

普通に順番に積分してできるようですよ.


使う積分公式は
(1)  ∫{1/(c^2+t^2)} dt = (1/c) arctan(x/c)   (c>0)
(2)  ∫arctan t dt = t arctan t - (1/2)log(1+t^2)
の2つです.

まず,y で積分.
(3)  ∫ {x/(x^2+y^2)} dy = arctan(y/x)
ですから
(4)  ∫{x ~ x^2/4} {x/(x^2+y^2)} dy
    = arctan 1 - arctan(x/4)
    = π/4 - arctan(x/4)
次に x で積分すると
(5)  ∫{(4)式} dx = (π/4)x - 4 arctan(x/4) + 2 log{1+(x/4)^2}
だから
(6)  ∫{0 ~ 4} {(4)式} dx
    = π - 4 arctan 1 + 2 log{1+1^2}
    = 2 log 2

計算ミスがあるかも知れませんので,チェックよろしく.
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