∫∫ x/(x^2+y^2) dxdy
範囲 x^2/4<=y<= x , 0<=x<=4
が解けません。ヒントでもいいのでお願いします。

A 回答 (1件)

普通に順番に積分してできるようですよ.


使う積分公式は
(1)  ∫{1/(c^2+t^2)} dt = (1/c) arctan(x/c)   (c>0)
(2)  ∫arctan t dt = t arctan t - (1/2)log(1+t^2)
の2つです.

まず,y で積分.
(3)  ∫ {x/(x^2+y^2)} dy = arctan(y/x)
ですから
(4)  ∫{x ~ x^2/4} {x/(x^2+y^2)} dy
    = arctan 1 - arctan(x/4)
    = π/4 - arctan(x/4)
次に x で積分すると
(5)  ∫{(4)式} dx = (π/4)x - 4 arctan(x/4) + 2 log{1+(x/4)^2}
だから
(6)  ∫{0 ~ 4} {(4)式} dx
    = π - 4 arctan 1 + 2 log{1+1^2}
    = 2 log 2

計算ミスがあるかも知れませんので,チェックよろしく.
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Qx^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x (もしくは、x/y)の求め方。

問題.x^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x を求めよ。x>y 、x>0、y>0である。(^2は二乗を表します。)

対称式と言うのでしょうか、よく分かりませんが、答えが無くて困っております。どうぞ、お力を貸してください。私はこう解いてみました。

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 なので、それぞれ代入すると
(x+y)^2=26+2*5 になります。x+y>0なので
x+y=6 になります。ここから、xを移項して
y=6-x となり、これを xy=5 に代入します。
x(6-x)=5 となり、れを解くと
x^2-6x+5=0 より x=1,5 となります。
x+y=6 なので、y=5,1 になり、x>y なので、x=5 y=1
よって、y/x は 1/5

ここで、質問なのですが、このようにxとyをいちいち求めずに解く方法はあるのでしょうか?(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 を使って、x+yを求めるように、何らかの公式を使ったり、x^2+y^2=26 xy=5 の二つの式を変形させたりして、y/x や x/y いっぺんに(xとyを別々に求めることなく)求めることは可能なのでしょうか?どうぞ、よろしくお願いします。

問題.x^2+y^2=26 xy=5 の時、y/x を求めよ。x>y 、x>0、y>0である。(^2は二乗を表します。)

対称式と言うのでしょうか、よく分かりませんが、答えが無くて困っております。どうぞ、お力を貸してください。私はこう解いてみました。

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 なので、それぞれ代入すると
(x+y)^2=26+2*5 になります。x+y>0なので
x+y=6 になります。ここから、xを移項して
y=6-x となり、これを xy=5 に代入します。
x(6-x)=5 となり、れを解くと
x^2-6x+5=0 より x=1,5 となります...続きを読む

Aベストアンサー

> x^2+y^2=26 xy=5
両辺をx^2で割って
 1+(y/x)^2=26/x^2
x=5/yより
 1+(y/x)^2=26y/5x
整理して
 5(y/x)^2-26(y/x)+5=0
y/xについてとくと
 y/x=5 or 1/5
x>yより
 y/x=1/5

Q放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の

放物線y=(1/2)x^2+xと円(x-1)^2+(y+1)^2=2の両方に接する直線の方程式を求めよ

という問題が解けません。

高2が分かるような解き方がありましたら教えてくださいませんか?;w;

Aベストアンサー

求める直線をy=ax+bとおいて、
(1)放物線とこの直線が接する→(1/2)x^2+x=ax+bとしてこの二次方程式が重解を持つ
(2)円と直線が接する→円の中心からy=ax+bまでの距離が円の半径に等しい

この二つを連立させればaとbが求められます。

Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

材料力学(数学)の問題です。

0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
この問題の解き方を教えて下さい。わかりやすく解説してくだされば有難いです。

Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
これは単なる比例です。aが正の定数なので、0を通る右上がりの直線ですね。

b<x<2bでy=ab
a,bが定数なので、abも定数です。
x=bの時「y=ax」=「y=ab」であるので、
y=axのx=bにおけるyから横一直線ですね。

2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
x=2bの時y=-2ab+3ab=ab、
x=3bの時y=-3ab+3ab=0
となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
グラフを描く時に境界部分で○とするか●とするか間違わないように。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報