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- 回答日時:
A=(a_ij)が確率行列であるとは
1) a_ij≧0 (∀i,j)
2) Σ[j=1 to n]a_ij=1
である事です。
AとBが確率行列であるとき、ABが確率である事を示します。
Σ[j=1 to n](AB)_ij (ABのi,j成分のjについての和)
=Σ[j=1 to n]Σ[k=1 to n]a_ik b_kj
=Σ[k=1 to n]Σ[j=1 to n]a_ik b_kj (和の順番を入れ換えた)
=Σ[k=1 to n]a_ikΣ[j=1 to n]b_kj
=Σ[k=1 to n]a_ik (Bが確率行列だから)
=1 (Aが確率行列だから)
より、ABは2)の条件を満たします。
ABは、明らかに1)の条件も満たすので、ABも確率行列です。
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