電気回路の複素数表示って？

１．交流電圧をVexp(iωt)と表現することがよくありますが、なぜ複素数表示をするのでしょうか？
単純にVcos(ωt)のように実数で表すこととの違いはなんなのでしょうか？
２．また、上式を展開した際に出てくる複素部のisin(ωt)は実際には何を表しているのでしょうか？実験等で得られる値は実部だと思うのですが、複素部は一体？

電気分野は詳しくないのでどなたか回答よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： imoriimori 回答日時： 2006/01/21 12:49

Vexp(iωt)と表現するのは便法です。

しかしこの便法には本質的な意義があります。

コンデンサＣの両端の電圧は電流の積分に比例だとか、インダクタンスＬの電圧は電流の微分に比例だとかですよね。この物理法則に従って回路方程式を立ててちゃんと解こうとすると微分積分が入った方程式になるのは避けられません。
しかしexp(iωt)の時間微分はiω×exp(iωt)というふうに自身にiωを乗じるだけ、積分は逆にiωで割るだけという、特別な性質がexpにはあります。
この結果、微分積分の回路方程式は微分や積分が消えた形の単純な方程式に書き直すことができます。このことが、ＣやＬのインピーダンスとして1/iωＣやiωＬという値を定義し、交流回路計算はこのインピーダンスを使ってオームの法則とかキルヒホフの法則とか代数的手段で解くことができる、ということにつながっているのです。exp(iωt)の表現は交流回路計算の理論的根拠になっているわけです。
（これとは別ですが、いろんな計算をするとき大抵の場合sinやcosよりもexp(iωt)のほうがらくちんです。こういうことも背景かも。）

ところで、「実験等で得られる値は実部だと思うのですが、複素部は一体？」というご疑問はとても重要です。素晴らしい問いかけかと思います。答えは複素部（というか正しくは虚数部）は忘れて良いのですが、それは前述「便法」の理論を立てるときにはある約束事があったからです。つまり、実数部が関心のある量である、虚数部は計算の便宜で仮にあるとするだけ、という前提です。
こうやって複素解の実数部だけ見れば良い、このことは＃２様の「射影を見る」ということと同じです。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。非常に参考になりました。
expは交流回路を考えるには非常に都合がいいんですね。勉強します。

お礼日時：2006/01/24 12:30

No.3 回答者： voussortez 回答日時： 2006/01/20 23:02

交流の時などは、電圧と電流の変化が、

●抵抗
●コイル
●コンデンサー
をそれぞれつなぐと、９０度進んだり９０度遅れたりします。

ちなみに複素数の数学でのｉは、電気の分野ではｉ＝電流なので、
ｊが空いていたのでしょうで、複素数の表示に使っているのでしょう。

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/complex/i …

http://miyasan.serio.jp/series4/densi0222.html
これらのＷｅｂページはどうでしょうか。

この回答へのお礼

このWebページは参考になりますね。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/01/24 12:23

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/01/20 17:14

例えば、電圧と電流の位相差を表現するには複素数が便利ですね。

その電圧と電流をつなぐものとして、複素インピーダンスがあるわけです。複素平面上でベクトル表示をしてみればその意味が良くわかると思います。

>？実験等で得られる値は実部だと思うのですが

実験等で得られる値は複素ベクトルの実部への「射影」だという把握でよいと思います。

この回答へのお礼

やはり現象を表現するため導入されているようですね。一度ベクトル表示してみます。
ありがとうございます。

お礼日時：2006/01/20 17:45

No.1 回答者： uvgHS7Kk 回答日時： 2006/01/20 16:39

詳しいことを忘れましたが、単なるcosと考えては説明できない交流の性質があったはずです。

そのときにexpで説明がついたような。

複素部については説明だけであり、実世界での値に意味はありません。

この回答へのお礼

やはり複素数部には意味はないんですね。現象を説明するために用いたところでしょうか。
ありがとうございます。

お礼日時：2006/01/20 17:09