pが素数、a,bがZに含まれるとき、次式を示せ。

a≡b(mod p)⇒a^p^k≡b^p^k(mod p^(k+1))

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A 回答 (3件)

a≡b(mod p)⇒a^p^k≡b^p^k(mod p^(k+1))



pが3以上の素数の場合について書きます。


a≡b(mod p^m)ならば、(a-b)=kp^m とかける。
(a-b)^p (kp^m)^p = (k^m)(p^(mp)) となりこれは、mp>(m+1)なので
p^(m+1)で割れる。

(a-b)^p を2項展開すると、2項ずつまとめて
(a-b)^p = (a^p - b^p)
+ シグマ(1から(p-1)/2まで)pCk((-1)^k)(a^k)(b^k)(a^(p-2k)-b^(p-2k)) 

となり、ここでpCk はp の倍数
また、(a^(p-2k)-b^(p-2k)) は (a-b)で割り切れる。
従って、これは、p^m で割り切れる。
 シグマ以下の各項は、p^(m+1) で割れる。
従って、(a^p - b^p) は p^(m+1) で割れる。

あとは、数学的帰納法でOK
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僕が無知なだけでしたらすいません。


kとZの定義はなんでしょう。
あと、
a,bは自然数でしょうか?
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a^(p^k)ですか?それとも(a^p)^kですか?

この回答への補足

すみません、わかりにくかったですね。
a^(p^k)
です。

補足日時:2002/01/12 18:29
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