(mod p)?

pが素数、a,bがZに含まれるとき、次式を示せ。

a≡b(mod p)⇒a^p^k≡b^p^k(mod p^(k+1))

No.3 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2002/01/15 15:31

a≡b(mod p)⇒a^p^k≡b^p^k(mod p^(k+1))

pが３以上の素数の場合について書きます。


a≡b(mod p^m)ならば、（a-b）=kp^m とかける。
(a-b)^p (kp^m)^p = (k^m)(p^(mp)) となりこれは、mp>(m+1)なので
p^(m+1)で割れる。

(a-b)^p を２項展開すると、２項ずつまとめて
(a-b)^p ＝　(a^p - b^p)
+ シグマ（1から(p-1)/2まで）pCk((-1)^k)(a^k)(b^k)(a^(p-2k)-b^(p-2k))　

となり、ここでpCk　はp の倍数
また、(a^(p-2k)-b^(p-2k))　は　(a-b)で割り切れる。
従って、これは、p^m で割り切れる。
　シグマ以下の各項は、p^(m+1) で割れる。
従って、(a^p - b^p) は　p^(m+1) で割れる。

あとは、数学的帰納法でOK

No.2 回答者： nyonta 回答日時： 2002/01/13 01:38

僕が無知なだけでしたらすいません。

kとZの定義はなんでしょう。
あと、
a,bは自然数でしょうか？

No.1 回答者： noname#5277 回答日時： 2002/01/12 18:23

a^(p^k)ですか？それとも(a^p)^kですか？

この回答への補足

すみません、わかりにくかったですね。
a^(p^k)
です。

補足日時：2002/01/12 18:29