問題の簡単な解き方がわかりません(中学校数学)

x=1/3のとき　54x^3-18x^2+x=?
上記問題があって、単純にxに1/3を代入していけば答えがでることはわかっております。ただ多分この問題の意図としては因数分解などを行って式を簡単にしてから代入を行うのでは？と思っております。
下記の通り9xで囲えばできそうな気がしたのですが、
9x(6x^2-2x+1/9)
この先が見当もつきませんので(分数を使った因数分解ができるのかもわかりません)式を簡単にする考え方を教えていただきたいです。

No.1 回答者： take008 回答日時： 2006/03/09 12:23

ax^3+bx^2+cx+d = (ax^2+bx+c)x+d = ((ax+b)x+c)x+d

なので
ax
ax+b
(ax+b)x
(ax+b)x+c
((ax+b)x+c)x
((ax+b)x+c)x+d
と左から順に計算していけばよいので簡単にできます。
掛け算する回数も少なくてすみます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
xで一つずつ囲うってことですね。確かにこれならば簡単にできそうです。他の問題にも使えそうな考え方なのでとても助かります。

お礼日時：2006/03/09 13:16

No.2 ベストアンサー 回答者： tjrfo06 回答日時： 2006/03/09 12:24

最初の二項を18x^2でくくると

54x^3-18x^2+x=18x^2(3x-1)+x
になります。x=1/3の時18x^2の項は0ですので
？を簡単に求めることができるのではないかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私はとにかく式全体を簡単にしようしようと思いすぎて、+xだけ残すという考え方ができなかったようです。この考え方は非常に楽な計算になりますね。すごい！No1さんと同様、他の問題にも参考になりそうな考え方なので本当に助かります。

お礼日時：2006/03/09 13:19

No.3 回答者： crazy_dog 回答日時： 2006/03/09 12:46

こんにちは

54x^3-18x^2+x の式をまずxでくくります。
=x(54x^2-18x+1)　となりますよね。
ここで54x^2-18x+1　は　(9x-1)(6x-1)-3xとすることができます。
つまり
=x{(9x-1)(6x-1)-3x}　となるわけです。
そこでx=1/3を代入すれば少しは計算が楽になると思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>ここで54x^2-18x+1　は　(9x-1)(6x-1)-3xとすることができます。
この考え方がちょっと難しいです。(9x-1)(6x-1)-3xを展開すれば、54x^2-18x+1になることはわかりますが、54x^2-18x+1を(9x-1)(6x-1)-3xの形にできることに気付く「きっかけ」というか、何故この形に辿りつくのかが知りたいです。多分、公式などはないと思うのですが？
やっぱりこの形にできるとかに気付くか気付かないかが、数学得意不得意の差なのでしょうか(悲)

補足日時：2006/03/09 13:20

No.4 回答者： taiyo7 回答日時： 2006/03/09 12:47

　因数分解は高校生のレベルならできますが、ただしルートを使うことになるので、かえって複雑になります。

　ｘでくくった後、そのままｘに1/3を代入すれば簡単にできると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
はい。他の方の回答をみて、中学生レベルでは因数分解はできないのだと気付きました。一番の目的は、どう簡単に解くかでしたので(私が勝手に因数分解すれば簡単にできると思ってました)ご指摘の通りだと思いました。

お礼日時：2006/03/09 13:31

No.5 回答者： tadys 回答日時： 2006/03/09 13:46

54=3x3x3x2 18=3x3x2 ですよね。

ですから
54x^3 = 3x3x3x2 x(1/3) x(1/3) x(1/3) = 2
18x^2 = 3x3x2 x(1/3) x(1/3) = 2
なので
54x^3-18x^2 = 2 - 2 = 0
となって、
答え = x = 1/3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この考え方も面白いですね。ただ私としては、簡単に答えを求めたいというのがありましたので(質問文に記述していなかった私が悪いのですが)。
>54=3x3x3x2 18=3x3x2 ですよね。
を計算する手間が生まれるので、1/3を3回掛ける手間(何も考えずにxに1/3を代入した場合)と同じかなと思ってしまいます(これでも約分できることには気付くので)。ですが他の問題に役立ちそうな考え方ではあるので、参考にさせていただきたいと思います。

お礼日時：2006/03/09 14:21

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2006/03/09 13:49

54x^3-18x^2+x

これは、５４と１８が、九九表に出てくる数字なので、
しかも、ｘは変数でもなんでもなく、決まった値で、
しかも、その値は、おあつらえ向きの「１／３」。


ですから、
最初に「９で約分」しちゃえばいいんです！

（ 簡単な計算なのに、くくるとか工夫してると、多分、かえって間違える確率が増えます。）


いちばん後ろのｘは、ほうっておいて、前の２つを９で約分

54x^3-18x^2+x
　＝　６ｘ － ２　＋　ｘ
　＝　２ － ２ ＋ ｘ
　＝　ｘ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>（ 簡単な計算なのに、くくるとか工夫してると、多分、かえって間違える確率が増えます。）
おっしゃる通りなのですが、どちらかというと答えよりも考え方の部分を聞きたかったのです(その辺り質問文にちゃんと記述していないのが悪いのですが)。

お礼日時：2006/03/09 14:41

No.7 回答者： kittenandcat 回答日時： 2006/03/09 14:31

わたしならこう考えます。

x=1/3　→　３x＝1　→３x－1＝０だから　54x^3-18x^2+xを３x－1でわると、商が１８x^2　余りが　x　だから、
54x^3-18x^2+x＝（３x－1）×１８x^2＋x　になる。
ここで、３x－1＝０の関係から
　　（３x－1）×１８x^2＋x　　＝　０×１８x^2　＋　x
　　　　　　　　　　　　　　　＝x
　　　x=1/3　だから　余りは　1/3
　54x^3-18x^2+x＝（３x－1）×１８x^2＋x　になる。については、５を３で割ると商が１で余りが２だったら、
　５＝３　×１　＋　２　になるよね？ここから、
　式＝割ったもの　×　商　＋　余り　ってなることが読み取れるよね？って教えます。