No.3ベストアンサー
- 回答日時:
解いてしまうと削除対象になりそうなので、ヒントだけ書きます。
円錐の体積の公式 V = (1/3)π* r^2 * h …(1)
を出発点として考えることにします。
使うのは円錐の高さhではなくて母線の長さエルですが、エルが数字の1と紛らわしいのでここではエルのかわりにpを使うことにします。
p^2 = r^2 + h^2 … (2)
です。
ここで条件は、p=5 ですが、要するにpが一定という条件です。
この制約の下で、r と h とが変化したとき、V が最大になる r を求めるのが最初の目的となります。
計算のしやすさを考えて、V が最大になる r ではなくて、V が最大になる h を求めることにします。(2)を使って (1)からrを消します。
V = (1/3) * π * (p^2 - h^2) * h
= (1/3) * π * (p^2 * h - h^3) … (3)
ここで、p=5 (一定)ですから、V は h の関数となります。
V を h で微分すると、V' = (1/3) * π * ( p^2 - 3*h^2)
となります。
これから、V が最大となる h を求めればよいです。
h が求まれば、これから r を求めます。
r が求まれば、求める角度は計算できますね?
角度の計算の時に実際に必要なのは r/p なので、r を求めるときに、r/p の形で求めておけば、計算が楽になります。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます!
重ねての質問申し訳ありません。
Vをhで微分すると・・・
というところまでは理解できました。
しかし次の「これから、V が最大となる h を求めればよいです」というところがよくわかりませんでした。
Vmax=の式を立てるのでしょうか?でも、hもVmaxも不明でですし・・・、と考えていたら混乱してきました・・・!
どのような式を、または計算をすればよいのでしょうか?
もしよろしければ更なるご回答をお願いいたします・・・m(__)m
No.4
- 回答日時:
#3 です。
#3 の補足質問に回答します。こちらとしては、なにをどこまで説明するのがよいのか、ご質問の背景がよく分からないと推し量りかねます。学生さんでしたら、学年や、この質問の背景を、社会人の方でしたら、この質問でなにを知るのが目標なのか(解き方なのか結論なのか)など一緒に書いてくださると有難いです。
さて、このVは、h の3次式ですから、微分して、導関数の正負を調べて、もとの関数の増減を調べるのは、微分の使い方の基本の一つです。
ここで、h の範囲なども関係しますが、(2)の式とp,r,h それぞれが正ということで h の範囲も求まります。
結論からいうと、V'=0 と置いて、h について解くと、h>0 の範囲で解が一つ求まります。(V' は h の二次式で、解は二つですが、もう一つの解は 正負が逆になっています)。その解よりも h が小さいときは V'>0 、大きいときは V'<0 ですから、V は h がその値より小さいときには増加、大きいときには減少で、V'=0 となる h の時に V は最大となります。
この説明で分かりますでしょうか?
No.1
- 回答日時:
容積は角度θの関数になります。
☆角度がθのとき、
円錐の底面の半径rを求める。(1)
扇の弧の長さと、底面の円周は同じ長さ。
☆半径r と扇の半径を使って、
円錐の高さhを求める。(2)
☆半径rと体積hを使って、体積の式をつくる。
(2)(1)を使って、体積の式をh,rのない式にします。
容積はθの関数になったはず。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます!
扇の弧の長さは、(扇の半径5)*(2π-θ)。底面の円周は、2πrですよね。
それで半径rを求めると、r=5/2π*(2π-θ) になりました。
次に半径rと扇の半径5を使って高さhを求めるとき、三平方の定理より、「h^2=r^2-5^2」を使いrに上の式を代入して計算しました。
するとh=√{(25*θ^2*π-100θ*π^2)/4π^3}となりよくわからなくなってしまいました・・・。
どこかで計算を間違えたのでしょうか?
重ね重ねの質問もうしわけありません・・・!
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