90度未満の、整数の角度で、「コンパスと定規だけで」作図可能なものをご存知の方。ぜひ教えてください。さらに、作図不可能の角度も教えてほしいです。

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A 回答 (5件)

とりあえず、3の倍数の角度は全て作図可能です。

(0度を入れる入れないは別問題として・・・)
で、恐らく、その他の整数値の角度が作図不可能となります。
近似角は出せますが、まぁ、作図という事では3の倍数の角度だけという事になると思います。

他に、もし、ありましたら僕も是非興味があります。
こういう素朴な疑問大好きです。これからも頑張って下さい☆
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直角を90度としたのは,特に意味はありませんので


(自然な角度はラジアン単位ですから),
整数度も大して意味はありません.

さて,この問題は本質的に円分角と正n角形作図の問題と同じことです.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
の私の回答にありますように,
(1)  n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
の形の正n角形のみが定規とコンパスだけで描くことができます.
有名なガウスの結果です.
当然,対応する円分角などが描けます.
(2^3)×3×5 = 120 で 120 角形が描けますから,
対応する円分角 360/120 = 3 [度] が作図可能です.
角度の足し算は容易ですから,3の倍数の角度は全部作図可能です.

これ以外はできないでしょう.

hoo さんの回答には1度が作図可能とありますが,
これが作図可能なら,例えば正45角形が作図可能で(8度を作ればよい),
45 = 3^2×5 ですから,(1)以外の正n角形が作図可能なことになってしまいます.

で,投稿しようとしたら,
全く同趣旨の Umada さんのご回答がちょっと前に出ていました.
教えてgoo の関連URLも紹介していますし,
せっかく書いたので,投稿しちゃいます.
Umada さん,失礼お許し下さい.
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私も、No.1のnyontaさんのご回答と同じ意見です。


任意の角度をつくり出す操作は、本質的に「正n角形をコンパスと定規で作図できるか」という問題に帰着します。
正n角形を描ければ(360/n)°なる角度を作りだせることになります。

正n角形をコンパスと定規だけで作図する場合、作図可能なのは特定の角度に限られます(詳細は参考URLをご覧下さい)。
n=3, 5, 17, 257,.....
および、その2^k乗倍のみです。(ここでkは自然数。角の二等分は任意にできますから、正n角形が描ければ正n×2^k角形も描ける道理です)

360は17や257(さらに、それ以上)では割り切れませんので、出発点はn=3,5だけ考えれば良く、
正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形・・・
正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形、正八十角形・・・
だけを吟味することになります。角度が整数になるという条件では
正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形
正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形
の8種類のみです。作られる角度は120°、60°、30°、15°、72°、36°、9°です。
さらにそれぞれの和、差、およびそのまた半分は作れますが、いずれも3の倍数ですからどう組み合わせても3°より小さい角は作れません。一方、3°は例えば、15°-9°を作って、半分の角を作れば実現します。
3°より小さい角は作れず、一方3°を作る方法は少なくとも一つ存在しますから、答えは3°およびその倍数ということになります。

1°がもし任意に作りだせるなら正360角形が定規とコンパスで作図できることになりますが、参考URLにあるようにそれはGaussによって「できない」とされています。従って1°は作図できません。2°ももしできたなら、半分の1°が作図できることになってしまいますから矛盾です。
やはり、最低は3°からということになります。

*直角を90°と定義したことに数学的必然性がないので(100°と定義しようが120°と定義しようが全く自由)、「整数の角度」と限定することに大した数学的な意味はありません。

「正十七角形」
http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat46.htm

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat46.htm
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整数値の角度なら1度から全て出来ます



正三角形、直角三角形、長方形、線を2等分することが出来れば
整数値の角度なら1度から全て出来ます
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 正五角形は有名ですね。




正五角形の作図(72°54°...)

http://www2.tokai.or.jp/yosshy/pentadraw.htm
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
与えられた線分を一辺とする正五角形を定規とコンバスで作図

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
与えられた円に内接する正五角形を定規とコンバスで作図する手順




(その他、参考まで)
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javamenu …

参考URL:http://www2.tokai.or.jp/yosshy/pentadraw.htm,http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
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前に類似の質問が出ていましたが、珍回答のまま終結していたのでもう一度スレッド立てます。(わら
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(どこかで聞いたようなセリフかな)

Aベストアンサー

珍回答で終わりは私もありゃ~と思っていました.
回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ~.

360°を割り切れないとダメ,は明らかにおかしいですね.
角の二等分はよく知られていますから,正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単.
正16角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう.

コンパスと定規で使うという,通常の作図のルールで作図できる正n角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています.
フェルマー素数とは 2^(2^p)+1 の型の素数で
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかは多分わかっていないんだと思います.

n = 2^k×3×5 の正n角形が作図可能なのは大昔(ユークリッドの頃?)から
知られていました.

なお,正n角形が作図可能であるのと,
円分方程式 z^n = 1 の解が有限回の加減乗除と平方根で書けるのとは
同じことです.

結論として,正7角形は通常の作図のルールでは作図出来ません.

珍回答で終わりは私もありゃ~と思っていました.
回答書いて送ろうと思ったら締め切られていたんですよ~.

360°を割り切れないとダメ,は明らかにおかしいですね.
角の二等分はよく知られていますから,正 2^k 角形 (k>2) を作るのは簡単.
正16角形でもう 360°を割り切れなくなっちゃう.

コンパスと定規で使うという,通常の作図のルールで作図できる正n角形は
Gauss が 1796 年に結論を出していて
n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
に限ることがわかっています.
フェルマー素数...続きを読む

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既に同趣旨の質問があり,
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=210553
に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います.

通常の作図のルール(定規とコンパス)で作図できる演算は,
四則と平方根であることがわかっています.
したがって,正n角形(半径1の円に内接としましょう)が作図できるかどうかは,
一辺の長さが四則と平方根で表されるかどうかにかかっています.
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大体そうなのですが,たまたま平方根(2重根号,3重根号,...でもOK)+四則
だけで表現できる場合があって,それが上で紹介したスレッドや Mell-Lily さんの
話です.

既に同趣旨の質問があり,
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に回答が出ています.
本質的に Mell-Lily さんのご回答と同じです.

n=2^2^p+1 (p は自然数)という形をした素数はフェルマー素数と呼ばれています.
p=0 の3,p=1 の5,p=2 の17,p=3 の257,p=4 の65537
が知られています.
p=5 は 641×6700417 と分解出来るのを Euler が発見しています.
他にフェルマー素数があるかどうかはわかっていないと思います....続きを読む

Qどうやって1本の直定規だけで30度の角度が作れます

どうやって1本の直定規だけで30度の角度が作れますか?

Aベストアンサー

>メモリが付いているなら、
適当な二等辺三角形を描き、頂角から底辺に垂線を下ろし、
その長さの2倍の斜辺の直角三角形を描けば、30°と
60°が出来ます。

Q角度には作図できるものとできないものがありますが・・・

30度、45度、60度、90度などが簡単に作図できることと5角形の作図ができることとは共通な理由があるのでしょうか。

Aベストアンサー

コンパスと定規での作図、という条件がないと質問が無意味なので、そういうことで回答しますが。
定規は直線を引くものなので、描かれる図形は1次式で表現できます。一方コンパスは円を描くので、描かれる図形は2次式できます。
以上のことから、コンパスと定規でできることは整数係数の2次方程式を解くことと同義になります。
5角形の場合72度、36度、18度のうちどれかが作図できれば描けます。
cos18°=tとおくとcos36°=2t^2-1
cos54°=4t^3-3tこれはsin36°に等しいから
(2t^2-1)^2+(4t^3-3t)^2=1
これを変形すると(t^2)*(16t^4-20t^2+5)=0となり、tを四則と平方根だけで求められます。ゆえに作図可能。
30度45度60度90度はそれぞれ正12角形、正8角形、正6角形、正方形の作図と同値になります。
一般の場合、円分方程式の解法の問題なので、(たとえば4度が作図できることは正90角形の作図と同値です)ガロア理論を使います。(そこでわかるのは根号(平方根とは限らない)と四則で解けるかどうかですが)。
ただし、既にみなさんが答えておられるようにコンパスと定規に限れば既に答えはでています。

コンパスと定規での作図、という条件がないと質問が無意味なので、そういうことで回答しますが。
定規は直線を引くものなので、描かれる図形は1次式で表現できます。一方コンパスは円を描くので、描かれる図形は2次式できます。
以上のことから、コンパスと定規でできることは整数係数の2次方程式を解くことと同義になります。
5角形の場合72度、36度、18度のうちどれかが作図できれば描けます。
cos18°=tとおくとcos36°=2t^2-1
cos54°=4t^3-3tこれはsin36°に等しいから
(2t^2-1)^2+(4t^3-3t)^2=1
これ...続きを読む

Q35度の回転移動の書き方

大学生で個別塾の講師をしているものですが、
昨日中学1年生の生徒から質問を受け、(恥ずかしながら)わからなかったので質問させて頂きます。
よろしくお願いします。

「中学1年生数学:作図」の分野で、三角形ABCを点Oを中心として
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解答を聞かれました。

その子には、調べて次回の授業の最初に解説すると言っています;;
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Aベストアンサー

残念ながら35度という角度は、定規とコンパスでは作図できないですね。
問題の中に35度のヒントとなるような図形が描かれているとか(例えばひとつの角度が55度の直角三角形)

Q三角形の辺の和が最小になるように作図する問題です。

三角形の辺の和が最小になるように作図する問題です。

点Oから伸びる半直線L、Mがあります。
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L,M上にそれぞれ点P,Qをとり、三角形APQを作ります。
このときAPQの辺の和が最小となるように作図する方法を教えてください。

Aベストアンサー

点Aを、直線Lに対して、対称移動した点と
     直線Mに対して対称移動した点を
  直線で結びます。

Q定規とコンパスを使って、2点を通り一直線に接する円を描く方法

表題の通り、一直線とその上にない2点があるとき
これら2点を通り、一直線と接する円を、定規と
コンパスだけで描く方法を教えてください。

出典は『数学セミナー』8月号の「エレガントな
解答を求む」の第一題の「問題になってい
ない部分」です。けっこう考えてみたのですが、
どうしてもわからないので、答えが知りたくて。
(ちなみに投稿〆切はすぎておりますので
 ご心配なく)。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

【問題】
与えられた 2 点 A, B を通り与えられた直線 XY に接する円を作図せよ。

【解析】
AB//XY のときは, AB の垂直 2 等分線と XY との交点 T が接点となる。AB//notXY のときは, AB と XY との交点を P, 求める円と XY との接点を T とすると PT^2=PA・PB
PA=a, PB=b, PT=x とおくと x^2=ab

【作図】
AB を直径とする円をかき, これに P からひいた接線の長さに等しく XY 上に PT をとり, 3 点 A, B, T を通る円をかく。

Q「正9角形の作図」について

「正9角形の作図」について

僕は今高校生で数学が好きです。
僕が小学生の頃からずっと考えてきた問題で「正9角形の作図」という難問があります。

もちろん正9角形の作図が不可能であると証明されていることは知っています。
しかしその証明方法は代数的で代数の苦手な僕にとってなかなか理解できません。
(しかも小学生のときならなおさらです。)
小学生の時からコンパスと定規を持ちながら色々とやってきて、
不思議な正9角形の性質など見つけてきましたが、作図には至りません。(もう少しですが)

私は作図はできると思います。
なぜなら、コンパスと定規でプロットできる点、線分は無数にあり、さらにその点、線分同士を結んで
できる新たな線分もあり、有利数倍、無理数倍して、さらに角度も考えたりして…線分と線分の交点同士を結んでもいいかな。
まあ、そうやってできる場合の数全てのなかで、正9角形の形を決定付ける要素
どれか1つと合えば作図が可能だからです。それを証明できるかどうかはまた別の話ですが…

そこで今回質問したいのは以下の2つです。
(1)あなたは「正9角形の作図」ができると思いますか。
(2)私が見つけた正9角形の性質の1つについてどう思いますか?(下に記入)

(1)についてはあなたの意見が知りたいです。有名な数学者が考えたことならば大体知ってます。
できる、できない、どちらにしても理由をお願いします。
(2)については「これで正9角形がかけるよ!!」とか「ふ~ん」とかなんでもいいです。

とにかく僕は人間が考えるよりも前に図形自体が何か人間に語りかけているような感覚に陥るのです。
雪の結晶、ミツバチの巣はなぜ(正)6角形なのか?他にも自然にできた図形は無数にあります。
これらは何の理由にもなっていませんが、作図ができなくもないと思えてくるのです。

英知を求めたいのです。
ご意見よろしくお願いします!!

~正9角形の性質の1つ~
原点Oを中心とする単位円(円O)を書く。
点Q(cos60°,sin60°)、点R(cos120°,sin120°)を結ぶ(y=√3/2)。
点Q、点T(cos300°,sin300°)を通る直線(x=1/2)をひく。
原点を通り、y=√3/2、x=1/2とのそれぞれの交点の距離が2(円Oの直径)となるように直線を定める。
するとこの直線はy=(tan80°)xとなる。
逆に言えばx=1/2とy=(tan80°)xとの交点を点Pとすれば、SP=2となる。(証明済み)
y=(tan80°)xとy=√3/2との交点を点Sとする。
QS=SVとなるように円O上に点Vを定める。
するとこの線分VQは正9角形の一辺の長さと等しくなる。
他にたとえば点B(cos260°,sin260°)、点A(cos220°,sin220°)を定め(VQ=TB=BA)、
VTとQAの交点をαとすれば△VQα∽△TAαとなりどちらも正三角形になる。(証明済み)
ちなみにこの点αは正9角形にとって重要な点であり、この点が決まれば正9角形は作図可能である。

「正9角形の作図」について

僕は今高校生で数学が好きです。
僕が小学生の頃からずっと考えてきた問題で「正9角形の作図」という難問があります。

もちろん正9角形の作図が不可能であると証明されていることは知っています。
しかしその証明方法は代数的で代数の苦手な僕にとってなかなか理解できません。
(しかも小学生のときならなおさらです。)
小学生の時からコンパスと定規を持ちながら色々とやってきて、
不思議な正9角形の性質など見つけてきましたが、作図には至りません。(もう少しですが)

私...続きを読む

Aベストアンサー

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。
これ以上の話はもう、一種の宗教戦争(『思想信条を押し付けあうだけの、精神的疲弊のみが残る不毛な論争』という意味での)になりかねないので、余り乗り気ではないのだが・・・。

カントール曰く、「数学の本質は、その自由性にある」と。これは集合論について言われたことだが、幾何学でも同じことである。
いわゆるユークリッド幾何学の許す、古式ゆかしい作図の方法では不可能であったことが、他のどのような方法を許せば可能になるのか、その新たな方法を探るというのも、また一つの数学の方法である。
(さらに言えば代数学でも同じである。例えば、代数的には一般的解法のない5次方程式だが、ある特殊な関数を導入することで一般解を書き表せると耳学問に知ったことがある。)

作図が不可能であることを証明すること、ユークリッド的な作図の限界を探ることと同様に、敢えて許される手段を少しずつ拡張することで新たに何ができるようになるのか探ることにも数学的有益性はある(もちろん、『何でもあり』のやり方は厳に慎まれるべきであるが)。
自分の作図したいものが本来の作図法では不可能であるならば、新たな方法を探すなり、何なら自分で開発して試してみるのも、教育的に悪いこととは思わない。

スポーツに例えて言えば、ある学生がフットボール(サッカーの原型らしい)の試合中に、ルールでは許されていないのにボールを抱えて相手ゴールへ突撃してしまい、しかしそれが面白そうということになってルールに書き加えられ、それがラグビーという新しいスポーツになった、ということがある。
御存知のように、今でもサッカーはサッカー、ラグビーはラグビーと、異なるスポーツとして楽しまれている。それと同様に、従来の作図法と質問者のような新しい方法での「作図」は、別々のものとしては両立できる。

残念ながら、正9角形はコンパスと定規を本来の方法で用いる方法では作図不可能なのは、宇宙が始まる前から決まっていたとしても良いほどの事実である。
しかし、だからこそ、本来的でない正9角形の作図に作図の条件を緩めて挑むことに数学的興味が出てくる。
質問者も、「作図不可能」という厳然たる事実は踏まえつつ、色々な方法で挑んでみれば良いと思う。


最後に、本来の質問から離れたことばかり記したお詫びに、私のかつて考えた「作図」を披露しておく。この方法は、一般の正n角形へも応用可能である。
もちろん、本来許される方法ではないが、考えること自体は頭の体操としてはかなりのものである。

(1)まず、大きな円の中に、作図可能なことが分かっている正12角形を描く。
(2)この正12角形の12個の頂点と中心とを結ぶ線分を引く。
すると、全て合同で、一番小さな角が30度であるような二等辺三角形12個からなる図形が描かれることになる。
(3)この図形のうち、連続する9個分の二等辺三角形を、まとめて切り出す。
(4)この切り出したものを上手く貼れば、丁度正9角錐の側面が完成する。
(5)この立体の底を平らな面に押し付ければ、底面が正9角形をなしている。

No.3の者だが、私の意見も述べることをお許し頂きたい。
これ以上の話はもう、一種の宗教戦争(『思想信条を押し付けあうだけの、精神的疲弊のみが残る不毛な論争』という意味での)になりかねないので、余り乗り気ではないのだが・・・。

カントール曰く、「数学の本質は、その自由性にある」と。これは集合論について言われたことだが、幾何学でも同じことである。
いわゆるユークリッド幾何学の許す、古式ゆかしい作図の方法では不可能であったことが、他のどのような方法を許せば可能になるのか、その新...続きを読む


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