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90度未満の、整数の角度で、「コンパスと定規だけで」作図可能なものをご存知の方。ぜひ教えてください。さらに、作図不可能の角度も教えてほしいです。

A 回答 (5件)

直角を90度としたのは,特に意味はありませんので


(自然な角度はラジアン単位ですから),
整数度も大して意味はありません.

さて,この問題は本質的に円分角と正n角形作図の問題と同じことです.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40706
の私の回答にありますように,
(1)  n = 2^k×(互いに相異なるフェルマー素数の積)
の形の正n角形のみが定規とコンパスだけで描くことができます.
有名なガウスの結果です.
当然,対応する円分角などが描けます.
(2^3)×3×5 = 120 で 120 角形が描けますから,
対応する円分角 360/120 = 3 [度] が作図可能です.
角度の足し算は容易ですから,3の倍数の角度は全部作図可能です.

これ以外はできないでしょう.

hoo さんの回答には1度が作図可能とありますが,
これが作図可能なら,例えば正45角形が作図可能で(8度を作ればよい),
45 = 3^2×5 ですから,(1)以外の正n角形が作図可能なことになってしまいます.

で,投稿しようとしたら,
全く同趣旨の Umada さんのご回答がちょっと前に出ていました.
教えてgoo の関連URLも紹介していますし,
せっかく書いたので,投稿しちゃいます.
Umada さん,失礼お許し下さい.
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私も、No.1のnyontaさんのご回答と同じ意見です。


任意の角度をつくり出す操作は、本質的に「正n角形をコンパスと定規で作図できるか」という問題に帰着します。
正n角形を描ければ(360/n)°なる角度を作りだせることになります。

正n角形をコンパスと定規だけで作図する場合、作図可能なのは特定の角度に限られます(詳細は参考URLをご覧下さい)。
n=3, 5, 17, 257,.....
および、その2^k乗倍のみです。(ここでkは自然数。角の二等分は任意にできますから、正n角形が描ければ正n×2^k角形も描ける道理です)

360は17や257(さらに、それ以上)では割り切れませんので、出発点はn=3,5だけ考えれば良く、
正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形・・・
正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形、正八十角形・・・
だけを吟味することになります。角度が整数になるという条件では
正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形
正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形
の8種類のみです。作られる角度は120°、60°、30°、15°、72°、36°、9°です。
さらにそれぞれの和、差、およびそのまた半分は作れますが、いずれも3の倍数ですからどう組み合わせても3°より小さい角は作れません。一方、3°は例えば、15°-9°を作って、半分の角を作れば実現します。
3°より小さい角は作れず、一方3°を作る方法は少なくとも一つ存在しますから、答えは3°およびその倍数ということになります。

1°がもし任意に作りだせるなら正360角形が定規とコンパスで作図できることになりますが、参考URLにあるようにそれはGaussによって「できない」とされています。従って1°は作図できません。2°ももしできたなら、半分の1°が作図できることになってしまいますから矛盾です。
やはり、最低は3°からということになります。

*直角を90°と定義したことに数学的必然性がないので(100°と定義しようが120°と定義しようが全く自由)、「整数の角度」と限定することに大した数学的な意味はありません。

「正十七角形」
http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat46.htm

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat46.htm
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整数値の角度なら1度から全て出来ます



正三角形、直角三角形、長方形、線を2等分することが出来れば
整数値の角度なら1度から全て出来ます
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 正五角形は有名ですね。




正五角形の作図(72°54°...)

http://www2.tokai.or.jp/yosshy/pentadraw.htm
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
与えられた線分を一辺とする正五角形を定規とコンバスで作図

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
与えられた円に内接する正五角形を定規とコンバスで作図する手順




(その他、参考まで)
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javamenu …

参考URL:http://www2.tokai.or.jp/yosshy/pentadraw.htm,http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javahh/p …
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とりあえず、3の倍数の角度は全て作図可能です。

(0度を入れる入れないは別問題として・・・)
で、恐らく、その他の整数値の角度が作図不可能となります。
近似角は出せますが、まぁ、作図という事では3の倍数の角度だけという事になると思います。

他に、もし、ありましたら僕も是非興味があります。
こういう素朴な疑問大好きです。これからも頑張って下さい☆
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