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実数xに対して、その整数部分を〔x〕で表す。すなわち〔x〕は不等式
〔x〕≦x<〔x〕+1をみたす整数である。実数xに対して、等式
〔x〕+〔x+1/3〕+〔x+2/3〕=〔3x〕が成り立つことを示す。
まず
0≦α<1/3
1/3≦α<2/3
2/3≦α<1の場合わけがわかりません。
表し方が
小数部分をαとおく
0≦α<1/3のとき
〔3x〕=〔x〕+〔x+1/3〕+〔x+2/3〕
=〔n+α〕+〔n+α+1/3〕+〔n+α+2/3〕の式がわからないです。
nとαがわからない。(どこから現れたか)
〔n+α〕のαが1より小はなぜわかるの?
〔n+α+1/3〕のα+1/3が1より小はなぜわかるのか?
〔n+α+2/3〕のα+2/3がなぜ1より小はなぜわかるのか?
〔n+α〕+〔n+α+1/3〕+〔n+α+2/3〕を計算すると
なぜ3nなのか?
右辺=〔3x〕=〔3n+3α〕になるのか?
3αはなぜ1より小く、どこから現れてきたのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
まず一般論を書きます。
実数Xの整数部分をn、小数部分をαとします。つまり
X=n+α …(1)
ですね。
このときの[X+β](βは少数)がどうなるかを考えてみましょう。(1)より
[X+β]=[n+(α+β)]
ですから小数部分の和(α+β)が1を超えるかどうかで[X+β]の値が変わってきます。整理すると
0≦α+β<1 のとき [X+β]=n
1≦α+β のとき [X+β]=n+1
さて本問では上の式でβ=1/3,2/3 のときを考えるわけです。するとαの場合分けの仕方が見えてきませんか?
あと[n+α]のαが何故1より小さいのか、ということですが。場合分けをして 0≦α<1/3 としているわけですからαは1より小さくα+2/3も1より小さいですよね。
この回答への補足
ありがとうございます。
0≦α+β<1 のとき [X+β]=n
1≦α+β のとき [X+β]=n+1
は定義として考えてもよいですか?
No.3
- 回答日時:
NO2です。
定義という表現は間違いだと思います。
公式と言ったほうがいいでしょう。
No.1
- 回答日時:
ヒントのみ。
αについて、「小数部分をαとおく」
と書いてありますから、何の少数部分をαとおいたかということです。
x の整数部分を n
x の少数部分を α
と置いてあるようであります。
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