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光リソグラフィーの勉強をしているものです。

よくみるレーリーの式

最小解像度
R=k1*λ/NA

焦点深度(DOF)
DOF=k2*λ/(NA)2乗

は、どうやって求められたのでしょうか?
なぜ、短波長の光源を使えば最小解像度が小さくなるのですか?

詳しい方、教えていただけませんか?

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A 回答 (2件)

自分が専門家に該当するかどうかわかりかねていますが、わかる範囲でお答えします。



まず、k1,k2はプロセスファクタと呼ばれる物で、光学の計算から求められた物ではありません。これはレジスト材料の種類、その他etcの条件変わる数値です。
元々の光学から求められた、RとDOFの式にあとで追加した物だと考えて下さい。

それ以外の光学部分の式は、キルヒホッフの回折理論がベースになっています。
この回折理論からフーリエ光学(別名スカラー理論とも言います)という美しい体系が生まれました。

最小解像度の式は、円形開口がある時の非常に遠方での回折像(これをフランフォーファ回折といいます)の導出によって得られます。
「非常に遠方」は丁度開口の後にレンズをおいて結像させたときの像に一致します。
焦点では丁度波面は光軸に対して垂直でかつサイズは最小となります。
元になる式は、像の振幅分布をU(x,y)とすると、
U(x,y)=C×[exp{-ik(ax+by)}]のda,dbの二重積分、範囲a^2+b^2<=NA^2
で表され、これを解くと(途中極座標変換などします)ベッセル関数Jで表される答えを導き出すことが出来ます。
強度分布はI(w)=U(w) :ここでwは中心からの半径
になります。この式で第一エアりーディスク(中心から進んで光強度が初めに0になる円)の半径までを解像度の大きさとします。

次に、焦点深度の方は、デフォーカスしたときの波面がλ/4になるまでの距離で求められます。

いずれにしても結構計算があって、ちょっと説明しきれないので、詳しくはフーリエ光学の本を見て下さい。
応用物理学会の日本光学会で発行している「光学」という学会誌の1992/5月号より12月号まで、
「フレッシュマンのための現代光学」
という題名でわかりやすく解説されていますから、参照されると良いでしょう。

なお、なぜ短波長の光源が最小解像度が小さくなるのかというご質問ですが、

基本的に光は波であるため、絶えず広がろうとする性質があります。しかも集めれば集めるほど広がろうとする力が増加します。
そのため、レンズで一生懸命絞ろうとしても、限界があるわけです。
ところが波長が0の光を考えると、もはや波ではなくなります。(波長が0ということは波にはなりえませんよね?)
そうすると、波の性質は無くなるので、一点に光を集めることが出来ます。
現実にはそんな波は無限大のエネルギが必要になりますので作ることは出来ませんが、概念的にはそうなります。
近似的にこれを扱うのが「幾何光学」と呼ばれるものです。
故に、波長が短くなるほどこの粒子的な性質が波としての性質よりどんどん強くなるので、同じNAだと単純により絞り込むことが出来るようになります。

NAが大きいと小さく絞り込めるのは、光が広がる前に強い力で集めようと言う意味だと思って下さい。

この先、多分変形照明など色んなケースを学ばれるでしょうから、フーリエ光学の基礎は勉強された方がよいと思います。

では。
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回答こないですねえ。


レーリーの式というのは多分、アッベの回折理論あたりから簡単に出てくるような気が..... 資料探さねばきちんとしたことが言えませんが、たしか... 解像度を云々する以上、物体は縞しまのもの、つまり回折格子であるとして良く、散乱光と回折光の干渉でどうしたこうしたでした。うわ、いい加減。

しかし、「なぜ、短波長の光源を使えば最小解像度が小さくなるの」か、もっと正確には「なんで最小解像度は波長に比例するのか」という話なら、「哲学的考察」あるいは次元解析で即解決ですよ。

(1) ある光学系Aが、r の解像度、d の焦点深度を持っているとします。このシステムAを完全に相似的に、サイズを1/10に縮小すると、その解像度、焦点深度はどうなるでしょうか。
 単なる相似ですから、答は1/10。r/10 の解像度、d/10の焦点深度 と出る訳です。このとき、注意すべき事は:システムAで使っている光もサイズが1/10に縮小されていなくてはならない。つまり10倍短い波長を使っているわけですね。(正確には、もしAに動く部分があるのなら時間も1/10にすべきです。)
(2) 光学系Aが理想的であって、限界の性能に達しているとするならば、その限界を決めているのは光の波長である(これはご納得戴けると思いますが)。だとすれば、Aに比べて1/10の波長を使う、同じように理想的な光学系Bを作ったときの限界性能は、(1)に出てきた「Aを(波長も含めて)1/10に縮小したもの」と何ら変わる筈がありません。
 従って、最小解像度が波長に比例しなかったら、それこそびっくりですよ。

なお、「同じ光学系Aにおいて、波長を1/10にしたのに解像度が波長に比例しない」とすれば、それは光学系Aが短い波長では精度不足だ、ということに過ぎません。
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この回答へのお礼

お礼がおくれてしまいましたが、ありがとうございました。
単なる相似である、という考え方は直感的に理解しやすいです。

お礼日時:2000/12/28 05:52

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
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本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q開口数 NAって どんな数字のことですか??

レンズとかで 開口数 NAっていう数字を聞きますが、
(1)どんな意味なんでしょうか?

(2)その数字が大きいとどうで、小さいとどうなんでしょう?

(3)たとえば、一般的なものでは、どのくらいの数字が常識で
どのくらいの数字だと 限界だとか、すごいレンズだってことになるんでしょうか?

------

光学関係の本をちょっと見れば載っているのかもしれませんが、
不精ですいません。ここで質問させてください。


_

Aベストアンサー

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通は0<NA<1の間の数値となります。
簡単には、焦点距離がfで、レンズの半径がrとすると、tanθ=r/fですから、これからθを求めてsinθを求めれば良いわけです。

さて、この数値は色んな目的に使われます。
一つは明るさです。一つの点から出た光は通常四方八方に進みますが、NAが大きいと取り込む角度が大きいので明るくなります。
もう一つは焦点深度です。NAが大きいと焦点から像がずれたときに、大きくぼけます。
最後に、解像度です。これの説明はちょっとやっかいですが、基本的に光は絶えず広がろうとする性質(回折)があると思って下さい。
そのため、もし非常に小さく絞り込もうとすると大きな角度θで絞り込まないと、光の広がろうとする性質がレンズに打ち勝ってしまって、絞り込め無くなります。

これまでの話で大体おわかりと思いますが、NAが小さい方は特別すごいことではありません。NAが大きい方はすごいことです。
用途によってすごさは変わってきますが、顕微鏡だと0.7位は特別ではないでしょう。0.8以上だと高解像度になってきます。
中には1.0とか、1を越える場合もあり、これはすごいことです。
ちなみに、1を越えるためには、光路を屈折率1以上の物質(実際には水溶液)でレンズと被測定対象物を満たしてあげます。

別の用途として、高精度レンズといえば半導体の回路を焼き付けるステッパー用レンズでしょう。これはNA=0.65位が普通、NA=0.7, 0.75だと高解像度、中にはNA=0.8という超高解像度のものもあります。

では。

NAの定義は、
NA = n * sinθ
です。(nは光路の屈折率)
いまレンズがあって、その先に焦点があるとします。
レンズを通った光が焦点に結ぶことを考えますと、レンズのどの位置の光も焦点一つに集まります。
ここで、レンズの両端から出た光が焦点に集まるとき、円錐状に光が集まる図を書くことが出来ますよね。
(イメージできます?円錐の頂点が丁度焦点です)
このときの、円錐を横から見た時の頂角が2θになります。
つまり、θは0より大きく、90度よりは小さくないといけません。
従って、NAも普通...続きを読む

Qレイリーの式の解読

レイリーの式の解読

自分は今超音波と音場に関する研究をしています。先輩の過去の卒論を解読しなければいけません。
無限バッフル内の平面振動子の端面が速度vT(t)で一様に振動している時、
吸収のない均一媒質中の観測点Oでの時刻tにおける音圧pは、次のレイリーの
式で与えられる。
となっていて式は添付した画像のようになっています。
ρは媒質の密度、cは媒質の音速、STは振動子面、dSは振動子面上の面積素、
rは面積素から観測点までの距離、プライムは時間微分である。
この式の構造(成り立ち)を説明するように言われていて、参考書やネットも調べたのですがわかりませんでした。
お分かりになる方、ご教授お願い致します。

Aベストアンサー

No.1です。
(1)rは振動紙面上の微小面積dSと観測点との距離です。振動子面上をxy面、面に垂直にz軸を撮ると振動子面の中心は(0,0,0)、振動子面上の点(x0,y0,0)の周りに微小面積dS=dx0・dy0を考え、これと観測点(x,y,z)との距離がrです。
r=((x-x0)^2+(y-y0)^0+z^2)^0.5
方形振動子の場合は(x,y,z)座標を使いますが円形振動子の場合は(r,θ,z)座標を用いて、計算を実行します。
(2)v'(t)は加速度です。振動子がz方向に角振動数ωで正弦波状に振動しているときは振動面は
v(t)=Vexp(jωt)
v'(t)=jωVexp(jωt)
観測点ではにおいては
v(t-r/c)=Vexp(jω(t-r/c))=Vexp(jωt)・exp(-jωr/c))=Vexp(jωt)・exp(-jωr/c))
=Vexp(jωt)・exp(-jkr)
v'(t-r/c)=jωVexp(jω(t-r/c))=jωVexp(jωt)・exp(-jkr)
つまり積分に関係する空間部分と関係しない時間部分に分けておきます。

No.1です。
(1)rは振動紙面上の微小面積dSと観測点との距離です。振動子面上をxy面、面に垂直にz軸を撮ると振動子面の中心は(0,0,0)、振動子面上の点(x0,y0,0)の周りに微小面積dS=dx0・dy0を考え、これと観測点(x,y,z)との距離がrです。
r=((x-x0)^2+(y-y0)^0+z^2)^0.5
方形振動子の場合は(x,y,z)座標を使いますが円形振動子の場合は(r,θ,z)座標を用いて、計算を実行します。
(2)v'(t)は加速度です。振動子がz方向に角振動数ωで正弦波状に振動しているときは振動面は
v(t)=Vexp(jωt)
v'(t)=jωVexp(jωt)
観測点で...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qピペットの検定を行う化学的根拠について

化学の実験でピペットの検定を行うことになりましたが、なぜこのような実験を行うか分かりません。

この実験の化学的根拠は何でしょうか?

抽象的な質問で申し訳ありませんが、お分かりの方がいらっしゃいましたら、ぜひ教えて頂きたいと思います。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ピペットで正確に蒸留水を秤量瓶にとり、その重量を測る実験ですね。水は室温になるようにし、その温度での水の比重を使いピペットから流れ出た容量を決めます。同じ10 ccのピペットでもものによって微妙に容量が異なります。数値の精度は忘れましたがたとえば9.995 ccだとか10.003 ccだとか一つ一つにピペットについて、自分が特定のやり方(流出後膨らんだ部分を手で握るとか、壁に先端をつけて液を落とし、流出終了後軽く擦るとか)で、そのピペットを使った時のそのピペットの流出容量が決まります。自分の液の採取、液の落とし方の揺らぎの程度もわかります。ピペット毎にFactorを決め、本番の分析のとき、そのFactorをつかうのが正統的やり方です。ビュレットについても同様に目盛りに対応する補正グラフを作って、どこからどこまでの目盛りなら、このビュレットは何CCになると決めます。これで滴定をします。
どのようなものでも、自分で較正が出来るものは較正する、というのは教育としても重要な意味をもつと思います。

Q物質の屈折率と密度の関係

物質の屈折率が密度に比例するのは
どのように説明することができますか?
ファインマン物理学を読んでいるのですが
どうもイメージが沸きません。
どなたか教えてください。

Aベストアンサー

音波の場合は、空気中よりも、固体などの硬い物質を進むときの方が速く
なります。音波の速さ 金属などの物体>水>空気 というようになりま
す。しかも音波が伝わるには媒質が必要です。光の場合は、真空中も伝わ
るように媒質は必要としません。同じ波なのにも関わらず、真空が一番早
く、物体中の速度が遅くなります。このことを理解するためには、光が電
磁波であるということに注目して、電磁波について知識を深める必要があ
ります。
プリズム分光をした場合に、赤い光よりも、紫の光の方が大きく屈折しま
す。紫の光の方が振動数が大きいからです。この質問を正しく理解するに
は分極とか誘電率とかの知識が必要になってきますが、イメージ的には、
sanapayatさんが言われているような感じでも良いでしょう。
X線のように振動数が極めて大きい電磁波の場合には、電子が振動におい
ついていけずに、分極が起きません。屈折率は 1に近くなります(1より
やや小さい)。

理化学辞典を調べましたら、「波」、「波の速度」という項目のところに
多少詳しく説明されています(少し難しい説明でした)。
紹介した参考資料の中では、理化学辞典以外の参考資料には、直接的な説
明はありません。物理のABCでは屈折に関する、粒子説と波動説での説
明が解説されています。光と色の100不思議の方は、全般的な話ですか
ら、あまり詳しい解説はありませんが、紹介したURL(この本の読者サポ
ートページ)には、広く光と色の参考資料やURLなどが紹介されています。

音波の場合は、空気中よりも、固体などの硬い物質を進むときの方が速く
なります。音波の速さ 金属などの物体>水>空気 というようになりま
す。しかも音波が伝わるには媒質が必要です。光の場合は、真空中も伝わ
るように媒質は必要としません。同じ波なのにも関わらず、真空が一番早
く、物体中の速度が遅くなります。このことを理解するためには、光が電
磁波であるということに注目して、電磁波について知識を深める必要があ
ります。
プリズム分光をした場合に、赤い光よりも、紫の光の方が大きく...続きを読む

Qレンズのフーリエ変換作用

レンズのフーリエ変換作用とは何かわかりやすく教えて下さい。
または、光学的な計算・解析でのフーリエ変換の意味を教えて下さい。
なお、私一応、数学のフーリエ変換をわかっているつもりです。
これをどうレンズに応用するのか、よくわからないのです。

Aベストアンサー

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。
詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像(近いとき)、フランフォーファ回折像(遠いとき)と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
さて、ここで、開口の後ろにレンズを入れてその焦点距離にスクリーンを置くと、レンズの働きにより丁度開口とスクリーンの距離を無限遠にしたときに相当します。
さて、こうやって立てたレンズによるこのフランフォーファ回折像の式を眺めると、丁度フーリエ変換式と同じ形になります。
(開口の関数をフーリエ変換した形になる)

これが基本となります。
おもしろいのはこの近似のなれの果てのような形で出てきたフーリエ変換による取り扱いが光学ではかなり本質的な意味をもちフーリエ光学として発展しました。
詳しい計算は省略しますが、開口による「フランフォーファ回折」の計算が載っていればその式を眺めてみることが出来ますよ。

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。
詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像(近いとき)、フランフォーファ回折像(遠いとき)と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
さ...続きを読む

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q干渉縞と回折点

基本的なことかと思うのでお恥ずかしいのですが
お尋ねします。

高校物理で、スリットを通った光が干渉して
スクリーンに干渉縞を作る実験をみました。

大学で、X線回折を習ったときに、干渉した結果、
斑点状の回折点が出ている写真を教科書で見ました。

どのようなときに、縞模様になり、斑点になるのでしょうか?

Aベストアンサー

光もX線も同じ電磁波ですから、性質としては同じです。
回折像の違いは、回折させるものの形状(ミクロな形状)によります。

X線の場合には結晶構造という立体的なものの構造により特定方向に回折することと、入射するX線もビーム状なので点になります。

一方でスリットによる回折では2つのスリットからの回折光同士が干渉し、そのスリット自体は2次元構造に過ぎないのでその構造を反映した干渉縞が生じます。

つまり電磁波(に限りませんが)の回折では対象物がなんであるのか、またどのような光を入射したのかというのが極めて重要になり、それにより見え方が変わるのです。

ちなみにダブルスリット(スリットを2つ並べる)実験でも入射させる光をスリットに直交したシート状にしてあげれば、干渉縞は点が離散的に並んだ形になります。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


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