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「二人のプレイヤーが賭博をする。一回のプレイで一番目のプレイヤーが勝って、一単位の金を受け取る確立をpとし、負けて一単位を失う確立をqとする。一番目のプレイヤーの初期の資金はA1単位、もう一人のプレイヤーはA2単位の初期資金とする。このプレイはどちらかが資金がなくなるまで続くものとする。最初のプレイヤーがいずれは破産する確立q1、第二のプレイヤーが破産する確立q2を以下のp、q、A1、A2の場合につき求めなさい。
p=0.45
q=0.55
A1 10 10 10
A2 10 15 20

この問題を教えてください。お願いします。

A 回答 (3件)

ごめんなさい、#1の係数行列のいちばん右の行は削除でお願いします。

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下の方程式をExcelで解いてみたところ、初期状態別にAが破産する確率はそれぞれ


初期状態(10,10)のとき、0.881499469
初期状態(10,15)のとき、0.957052646
初期状態(10,20)のとき、0.984319688
となりました。

マルコフ連鎖で解いてみた(これもExcelで)と結果が変わらないのでよしとしましょう。(自分的には納得^^)

ということで、
> P(0)=1, P(s)=0は明らか。
> またP(k)=p*P(k+1) + q*P(k-1) (k=1,2,...,a+b-1)という式が成立します。
これをもとにがりがりやってみてください。

#きっと大学かなにかのプログラミング実習の例題として出題された、というのに賭けてます。
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これは、マルコフ連鎖的な思考を求められる問題ですね。

(たとえば、はじめの問題なら、Aはあるフェーズでは資金を0~20のいずれかを持っている、という21個の状態が考えられ、プレイごとに状態が変わっていく(遷移する)、さらにいま資産を10持っている場合に、それがはじめの状態なのか、直前で勝って9から10になったのか、もしくは負けて10になったのかは関係なく、その後Bを破産させる(またはAが破産する)確率は等しい(遷移の無記憶性)という感じです。

Aを一番目のプレイヤーとし、1プレイで勝つ確率p、また初期資金a
Bをもう一人のプレイヤーとし、1プレイで勝つ確率q、また初期資金bと表記します。(もちろんp+q=1)さらにa+b=sとおきます。(2人の全財産)
で、いまAがn単位の資金を持っているという条件のもとで、いずれAが破産するという条件付確率をP(n)と書きます。(0<=n<=s: n=0はAが破産という状態、n=sはBが破産するという状態を表しています)

P(0)=1, P(s)=0は明らか。
またP(k)=p*P(k+1) + q*P(k-1) (k=1,2,...,a+b-1)という式が成立します。
(これはいま資産がkある場合、そこからAが破産するのは、その次のプレイに勝って(確率p)k+1枚になってから破産する(確率P(k+1))と、次に負けてから破産する、という考えから立式されてます)

これを(P(s)=0に注目し)k=s-1から順に解いていくと・・・

と、ここで計算give upしてしまいました。(汗)

求める答えは、これらの方程式を解いて、q1 = P(10)(初期状態ではいずれの問題でもAは資産を10持っているので), q2 = 1-q1 ということで解決するのですが・・・。

しかし、あまりに悔しい(笑)ので、この方程式を行列表記しますと、
|-1 p 0 0 ... 0 0 0 | |P(1) | |-q|
| q -1 p 0 ... 0 0 0 | |P(2) | | 0|
| 0 q -1 p . . . . | | . | | 0|
| . . . . . . . . | | . | = | 0|
| . . . . . . . . | | . | | 0|
| 0 0 0 0 ... q -1 p | |P(s-1)| | 0|
というs-1次元の3重対角行列で表せる線形連立方程式を解けばいい問題にまでは落としました。

あとは解いてください。でも、これって計算機(not電卓)を使って数値解法で解くのが目的なんでしょうねぇ、きっと。それならここまでの回答で十分と思われますが・・・紙の上で解くには計算がごつすぎます。。。きれいに解けそうもありませんし。(きれいに解けるのかなぁ?と思ってやってみたのですが労力がかかった割にまったく見通しが立ちませんでした(涙))

#ちなみに、途中の計算はだんだんいやになってきたので、間違い等多々あるかもしれません。立式まで読んでもらえればじゅうぶんでしょう。
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