四元数以上は

Question

自然数と言うのは整数の一部だし整数とは実数の一部だし実数は複素数の一部だ、また分数と言うのは有理数の一部だし・・・・ということをベン図に書いて表すと複素数と言うのが一番大きなまる(範囲)になりますよね。僕は大学1年生です。それ以上にもっと定義と言うか範囲の広いもの（複素数をも包み込むもの）はないんですか？このことを大学の教授に質問したら四元数があり八元数があるといわれました。それ以上は無いのですか？又その定義についても教えていただけるとありがたいです。絵が無いのと私の文章力のため若干わかりにくいとは思いますがご回答のほうお願いします。

siegmund · Accepted Answer

> 僕にさっぱり何のことかよく分かりませんでした。
いやあ，こういう話はすぐボロを出してしまうので，私も余り自信はありません．

複素数の段階では，複素数を係数とする代数方程式の解が複素数に
収まりますので，それなりに閉じた世界と言えます．

でも，もっと拡張というのも当然の方向でして
(数学は拡張によって発展したようなものでしょう)，
その一つの拡張方向が四元数．．．です．
ここらへんは nikorin さんも書かれておられます．

複素数までは演算法則が実数と同じでした．
それ以上の拡張には犠牲がいるらしく(？)，
四元数では乗法の交換法則が成立しません．つまり xy ≠ yx．
八元数ではさらに乗法の結合法則が成立しません．つまり (xy)z ≠ x(yz)．
だから，八元数では xyz なんて書いてはいけないのですね．
(xy)z か x(yz) かわかりませんから．

nikorin さんによると
>除法が一意的に可能な数体系は１，２，４，８次元のものに限られる 
ということですので，八元数より上に拡張しようとすると
犠牲が大きすぎてボロボロになってしまうということでしょう．
もう少しきちんとするなら，
除法が定義できないと「体」にならないと言えばいいでしょうか．

四元数で言うなら，√(-1) が i だけでなく，j,k とあることになります．
したがって，四元数の一般的な形は
z = a + bi +cj + dk
ということになります．a,b,c,d は実数．
交換法則が成立しないというのは，具体的には ij ＝ -ji の類です．

多少はお答えになっているでしょうか．

nagata · Answer

ひょっとしてこれの事でしょうか。

参考URL：http://www.nk.rim.or.jp/~jun/3d_info/quaternion.html

siegmund · Answer

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082
など参考になりますでしょうか．

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082

chukanshi · Answer

siegmund先生、ご指摘の通り、
私がした質問
No.193082 質問：n次元ベクトルの外積の定義 
の回答のNo.12、oodaiko先生の解説が非常にわかりやすいです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=193082

nikorin · Answer

数というものの定義に関わる非常に難しい問題だと思います。
数の拡張の「方向」（課せられる制限）が変わればいろんな結果になるんではないでしょうか？

ただし、除法が一意的に可能な数体系は１，２，４，８次元のものに限られる
という結果（８次元以上はない）がM. Kervaire 、J.Milnor（＞ Ann. of Math. 68, 444 (1958)）
という数学者によって証明されているそうです。

四元数以上は

ひょっとしてこれの事でしょうか。

siegmund先生、ご指摘の通り、

数というものの定義に関わる非常に難しい問題だと思います。

> 僕にさっぱり何のことかよく分かりませんでした。

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