微分方程式の振る舞いについて

株で一儲けしようと微分方程式を立てみようと思ったのですが、
購買意欲、生活状況、株以外の投資対象の動き、社会情勢、
景気、個人所得、寿命、人口・・・
等々考え出したらきりが無く、もしも完璧な微分方程式を
立てられても解は見つけられないのではないか？
なんて疑問が湧きました。
そういえば微分方程式はほとんどの場合解は求められないみたいですよね。

解は具体的には分からないけどこんな振る舞いをするってことはわかる
という微分方程式の特性　みたいなものって見つけられるのですか？
また、その振る舞い方が利用されているものってあるのでしょうか？

解がなかなかみつからない微分方程式は、自然現象をみるにあたって
必要不可欠なので（と思っている）振る舞いというものは
もうとっくの昔から利用されているのではないか？
という思い込みのもと質問します。

微分方程式の解が分からないとき、その微分方程式はこんな見方を
するよ　その見方はこんなことに使われているよ

など、関連しそうなことを教えてください。

No.3 回答者： noname#108554 回答日時： 2002/02/19 23:52

具体的にどういうモデルを立てて、数式にしようとしているのかはわかりませんが、

まず、株価のような変動を示す対象はほとんど微分方程式では記述できないと思っていいと思います。
いたるところ微分不可能なフラクタル/カオス性を示すからです。
こういう対象には伊藤の確率微分方程式という分野があります。おおざっぱに式を書くと
（微小時間内の株価の変動）=トレンド×微小時間
+ヴォラティリティ×ウィーナー過程
という形をしています。
この式と、ある仮定から、金融工学で重要なブラック・ショールズの確率微分方程式がでてきます。

参考文献：ブルーバックス「excelで学ぶ金融極限定理」
　　　　　ファイナンス社「経済物理学入門」　　

私も適当に仮定を立てて、統計力学に出てくるイジングモデルと伊藤の方程式を結びつけたりして、楽しんでます。

最近さかんになってきた経済物理学という分野では、
参考URLのようにエージェントモデル、つまりPC上に作り出した仮想市場の上で株を売買し、株価がどのように推移するかを研究していたりします。
この辺は、もとの質問からは外れてきてしまいますが。

参考URL：http://www.nlab.dnj.ynu.ac.jp/users/ahara/my_wor …

No.2 回答者： chukanshi 回答日時： 2002/02/19 22:53

まず、株価などの経済を、微分方程式を利用して解析しようという学問は、

最近大変流行っています。
例えば、こんなページが参考になります。
http://ramsey.econ.osaka-cu.ac.jp/~Shiozawa/fuku …

そして、これら経済活動の方程式は、大概、非線型になり、解析的には解けません。そこで、コンピュータを用いて、解いてしまいます。
そうすると、初期状態（初期値）がちょっと違っただけで、全然違う解がでてきます。これは、最初、気象学でローレンツによって気付かれたとされ、現在では、
「カオス」や「複雑系」といった、物理、化学、生物学、工学、経済学といった
分野を横断した一大学問となっています。
例えば、こんなページがあります。
http://www04.u-page.so-net.ne.jp/qb3/awatts/chao …

さて、解けない微分方程式の解の振る舞いを調べる方法ですが、無限遠方での
解の振る舞いや、原点付近での解の振る舞いは、わかることがあります。
このような、微分方程式の振る舞いを手計算で調べる方法は、大変古くから
あり、例えば、
「自然科学者のための数学概論」 増訂版改版
寺沢 寛一 (著)
価格： ￥4,860
単行本 - 711 p (1983/05/01)
岩波書店 ; ISBN: 4000054805
がその手の古典的名著として有名です。
ただし、非線型の場合は、初期値によって解が大変異なるため、
このような手法には明かに限界があります。

しかし、現在では、こんなにコンピュータが発達していますので、
すぐにコンピュータに計算させて、解の振る舞いを調べてしまう
というのが、最もポピュラーな方法でしょう。

参考URL：http://ramsey.econ.osaka-cu.ac.jp/~Shiozawa/fuku …

No.1 回答者： nuubou 回答日時： 2002/02/19 22:19

非線形微分方程式は線形微分方程式に

線形微分方程式は定係数線形微分方程式に
近似して解かれることも多いかと思います
定係数線形微分方程式は公式で簡単に求めることができますしね