株で一儲けしようと微分方程式を立てみようと思ったのですが、
購買意欲、生活状況、株以外の投資対象の動き、社会情勢、
景気、個人所得、寿命、人口・・・
等々考え出したらきりが無く、もしも完璧な微分方程式を
立てられても解は見つけられないのではないか?
なんて疑問が湧きました。
そういえば微分方程式はほとんどの場合解は求められないみたいですよね。

解は具体的には分からないけどこんな振る舞いをするってことはわかる
という微分方程式の特性 みたいなものって見つけられるのですか?
また、その振る舞い方が利用されているものってあるのでしょうか?

解がなかなかみつからない微分方程式は、自然現象をみるにあたって
必要不可欠なので(と思っている)振る舞いというものは
もうとっくの昔から利用されているのではないか?
という思い込みのもと質問します。

微分方程式の解が分からないとき、その微分方程式はこんな見方を
するよ その見方はこんなことに使われているよ

など、関連しそうなことを教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

具体的にどういうモデルを立てて、数式にしようとしているのかはわかりませんが、


まず、株価のような変動を示す対象はほとんど微分方程式では記述できないと思っていいと思います。
いたるところ微分不可能なフラクタル/カオス性を示すからです。
こういう対象には伊藤の確率微分方程式という分野があります。おおざっぱに式を書くと
(微小時間内の株価の変動)=トレンド×微小時間
+ヴォラティリティ×ウィーナー過程
という形をしています。
この式と、ある仮定から、金融工学で重要なブラック・ショールズの確率微分方程式がでてきます。

参考文献:ブルーバックス「excelで学ぶ金融極限定理」
     ファイナンス社「経済物理学入門」  

私も適当に仮定を立てて、統計力学に出てくるイジングモデルと伊藤の方程式を結びつけたりして、楽しんでます。

最近さかんになってきた経済物理学という分野では、
参考URLのようにエージェントモデル、つまりPC上に作り出した仮想市場の上で株を売買し、株価がどのように推移するかを研究していたりします。
この辺は、もとの質問からは外れてきてしまいますが。

参考URL:http://www.nlab.dnj.ynu.ac.jp/users/ahara/my_wor …
    • good
    • 0

まず、株価などの経済を、微分方程式を利用して解析しようという学問は、


最近大変流行っています。
例えば、こんなページが参考になります。
http://ramsey.econ.osaka-cu.ac.jp/~Shiozawa/fuku …

そして、これら経済活動の方程式は、大概、非線型になり、解析的には解けません。そこで、コンピュータを用いて、解いてしまいます。
そうすると、初期状態(初期値)がちょっと違っただけで、全然違う解がでてきます。これは、最初、気象学でローレンツによって気付かれたとされ、現在では、
「カオス」や「複雑系」といった、物理、化学、生物学、工学、経済学といった
分野を横断した一大学問となっています。
例えば、こんなページがあります。
http://www04.u-page.so-net.ne.jp/qb3/awatts/chao …

さて、解けない微分方程式の解の振る舞いを調べる方法ですが、無限遠方での
解の振る舞いや、原点付近での解の振る舞いは、わかることがあります。
このような、微分方程式の振る舞いを手計算で調べる方法は、大変古くから
あり、例えば、
「自然科学者のための数学概論」 増訂版改版
寺沢 寛一 (著)
価格: ¥4,860
単行本 - 711 p (1983/05/01)
岩波書店 ; ISBN: 4000054805
がその手の古典的名著として有名です。
ただし、非線型の場合は、初期値によって解が大変異なるため、
このような手法には明かに限界があります。

しかし、現在では、こんなにコンピュータが発達していますので、
すぐにコンピュータに計算させて、解の振る舞いを調べてしまう
というのが、最もポピュラーな方法でしょう。

参考URL:http://ramsey.econ.osaka-cu.ac.jp/~Shiozawa/fuku …
    • good
    • 0

非線形微分方程式は線形微分方程式に


線形微分方程式は定係数線形微分方程式に
近似して解かれることも多いかと思います
定係数線形微分方程式は公式で簡単に求めることができますしね
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qラプラス変換による微分方程式について

ラプラス変換による微分方程式について

u'+3u=cost
u(0)=-1

について微分方程式をラプラス変換で解きたいのですが、答えがわかりません。部分分数分解でつまずいています。
明日テストの為、途中式、答えをお願いします。

Aベストアンサー

>部分分数分解でつまずいています。
部分分数分解までの途中計算を書いて質問するようにしてください。
書いてないとそこまではチェックできません。

部分分数分解の直前まではできているとしてその後から

U(s)=-(s^2-s+1)/(s^3+3s^2+s+3)
  =-(s^2-s+1)/((s+3)(s^2+1))
  =(1/10)(3s+1)/(s^2+1) -(13/10)/(s+3)

逆ラプラス変換して
 u(t)=(1/10)(3cos(t)+sin(t)) -(13/10)e^(-3t) (t≧0) ...(答え)

Q微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式

微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式 dF/dt=p+(q-p)F-qF^2 を初期条件F(0)=0で解くと、F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]となるようですが、その導出過程がよく分かりません。どなたか回答いただければ、幸いです。

Aベストアンサー

dF/dt=p+(q-p)F-qF^2
を変形すると,

dF/dt=(1-F)(p+qF)
dF/[(1-F)(p+qF)]=dt

1/[(1-F)(p+qF)] を部分分数に変形すると,

1/[(1-F)(p+qF)] = (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]

これを微分方程式に戻す.

(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=dt

積分定数を C として,積分すると

∫(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・∫[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・[∫1/(1-F) dF+ ∫q/(p+qF)dF]=t+C
(1/(p+q))・[-ln(1-F) + ln(p+qF)]=t+C     ln( ) は自然対数
(1/(p+q))・ln{(p+qF)/(1-F)}=t+C
ln{(p+qF)/(1-F)}=(p+q)(t+C)

(p+qF)/(1-F)=exp[(p+q)(t+C)]

この式が一般解です.初期条件 F(0)=0 により

(p+q・0)/(1-0)=exp[(p+q)(0+C)]
p=exp[(p+q)C]
ln(p)=(p+q)C

C=[ln(p)]/(p+q)

この積分定数 C を微分方程式に入れて式を整理する.

p+qF=(1-F)exp[(p+q)(t+[ln(p)]/(p+q))]

p+qF=(1-F)exp[(p+q)t+ln(p)]
p+qF=(1-F)exp[(p+q)t]・exp[ln(p)]
p+qF=p(1-F)exp[(p+q)t]
p+qF=p・exp[(p+q)t]-pF・exp[(p+q)t]
qF+pF・exp[(p+q)t]=p・exp[(p+q)t]-p
F・{q+p・exp[(p+q)t]}=p{exp[(p+q)t]-1}

F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]}

この式が解です.質問に記述されていた式:

F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]

の右辺の分数の分子分母に p・exp[(p+q)t] を乗ずると,

F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]}
になります.

dF/dt=p+(q-p)F-qF^2
を変形すると,

dF/dt=(1-F)(p+qF)
dF/[(1-F)(p+qF)]=dt

1/[(1-F)(p+qF)] を部分分数に変形すると,

1/[(1-F)(p+qF)] = (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]

これを微分方程式に戻す.

(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=dt

積分定数を C として,積分すると

∫(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・∫[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C
(1/(p+q))・[∫1/(1-F) dF+ ∫q/(p+qF)dF]=t+C
(1/(p+q))・[-ln(1-F) + ln(p+qF)]=t+C   ...続きを読む

Qラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換で微分方程式を解く

u"+2u'+2u=e^(-2t)
u(0)=2
u'(0)=2
をラプラス変換により微分方程式で解きたいのですが、部分分数分解がうまくいかないため、解けません。
本日テストですので、途中式、答えをお願いします。

Aベストアンサー

No.1です。

ANo.1に転記ミスがあったため、項が抜け落ちていたので、訂正します。

ANo.1の2行目から以降を差し替えてください。

>ラプラス変換をとって
 U(s)s^2-u(0)s-u'(0)+2(U(s)s-u(0))+2U(s)=1/(s+2)
初期条件u(0)=2, u'(0)=2を代入
 U(s)(s^2+2s+2)=2s+6 +1/(s+2)
 U(s)=-(s^2-s+1)/(s^3+3s^2+s+3)
   =-(s^2-s+1)/((s+3)(s^2+1))
   =(1/10)(3s+1)/(s^2+1) -(13/10)/(s+3)
逆ラプラス変換して
 u(t)=(1/10)(3cos(t)+sin(t)) -(13/10)e^(-3t) (t≧0) ...(答え)

Q微分方程式を解くときに特殊解を求める方法

微分方程式を勉強しています。

特殊解を求める時に
・未定係数法(あらかじめ予想される特殊解の型にはめる)
・定数変化法(特殊解を求める公式にあてはめる)
の2つの方法があるというのを知ったのですが、どちらを使うのが一般的でしょうか?
どちらも(導くことが困難な、つまり実質、丸)暗記が大変そうだなぁ、という印象で少し戸惑っているのですが…。

Aベストアンサー

定数変化法は公式に当てはめるというより、補助方程式によって算出された解を関数と見立てもとの方程式の解を求めるといった解釈をしておいたほうが便利かと思います。

また、未定係数法はf(x)が定数係数同次線形微分方程式である場合でしか用いることができないです。

Qラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換で微分方程式を解く

u"+4u'+4u=e^(-3t)
u(0)=0
u'(0)=1
をラプラス変換により微分方程式で解きたいのですが、部分分数分解がうまくいかないため、解けません。
本日テストですので、途中式、答えをお願いします。

Aベストアンサー

>部分分数分解がうまくいかないため、解けません。
部分分数分解が上手くいけば解けるのですか?

そうであれば
求めたu(t)のラプラス変換U(s)を以下のように部分分数すればよいでしょう」
 U(s)=(s+4)/(s^3+7s^2+16s+12)
   =(s+4)/((s+3)(s+2)^2)
部分分数分解すると
 U(s)=1/(s+3) -1/(s+2) +2/(s+2)^2
逆ラプラス変換すると
 u(t)=e^(-3t) -e^(-2t) +2te^(-2t) (t≧0)

Q2階線形微分方程式の特性解が重解のときを極限で解釈

定数を係数とする2階線形微分方程式の同次形は、
y’’+ay’+b=0
で、
λ^2+aλ+b=0
において、
実数解を二つ持つとき、解をλ1、λ2とすると、
微分方程式の解は、y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x)
と表される。

実数解を一つ持つとき、解をλとすると、
微分方程式の解は、y=(c1+c2x)exp(λx)
と表される。

特性方程式が解を二つ持つとき、その解λ1、λ2において、
λ1がλ2に限りなく近づいた極限が、解を一つ持つときと考えられると思います。
そのような極限の考え方で、
y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x)

y=(c1+c2x)exp(λx)
に近づくという解釈をしたいのですが、いいアイデアがありましたら教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

まずλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、exp(λ1x)はexp(λ2x)になって重なって
しまうので、独立な基底になりえません。

これを見越して、重解でない場合の基底を

exp(λ1x)



[exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2)

ととっておけばいいです。

すなわち、重解でないときの解は

y = c1*exp(λ1x) + c2*[exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2)

と書けます。 ここでλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、上の式は、

y = c1*exp(λ2x)+c2*x*exp(λ2x)

となり、重解の場合の式になります。

Qラプラス変換で微分方程式を解く

ラプラス変換で微分方程式を解く

u"+2u'+2u=e^(-2t)
u(0)=2
u'(0)=2
をラプラス変換により微分方程式で解きたいのですが、部分分数分解がうまくいかないため、解けません。
本日テストですので、途中式、答えをお願いします。

Aベストアンサー

>部分分数分解がうまくいかないため、解けません。
部分分数分解の前までの途中計算を書いて質問するようにしてください。
でないとそこまではチェックできません。

部分分数分解のところから

 U(s)(s^2+2s+2)=2s+6 +1/(s+2)
 U(s)=-(s^2-s+1)/((s+3)(s^2+1))
   =(1/10)(3s+1)/(s^2+1) -(13/10)/(s+3)
逆ラプラス変換して
 u(t)=(1/10)(3cos(t)+sin(t)) -(13/10)e^(-3t) (t≧0) ...(答え)

Q偏微分方程式と常微分方程式

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ。


困っているのは(2)の問題です。

以下のようなwebサイトを見つけました。

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/

これに沿って問題を解いていったとき、一般解をどのようにするべきか迷いが生じました。今回の問題では初期条件や境界条件はないため、一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?

後もう1点、もしよければ、楕円型の微分方程式として有名な物理現象、あるいは式を教えていただけないでしょうか?

ヨロシクお願いしますm(_ _)m

特に(2)の問題に関する質問、ヨロシクお願いします。。。

物質濃度をC、時間をt、座標をx、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での2つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を1つ、数式で記述せよ...続きを読む

Aベストアンサー

>一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか?
境界条件が何も与えられてないのであれば、そうですね。
正負は同じ形になるので場合わけしないでもいいですが、少なくともゼロは分けないとだめですね。

楕円型の代表例は、Poisson方程式です。非圧縮性流体の定常流の圧力分布とか、空間電荷が与えられたときの電位とか、いろんなところででてきます。あるいは、斉次なポアソン方程式(ラプラス方程式)の解は調和関数といいますが、正則な複素関数とか。

Qラプラス変換法について(微分方程式)

微分方程式を解くとき使うとされる、ラプラス変換法について教えてください。
できれば、どのようにするのか具体的に教えてください。
また、文献などがある場合、それについても教えてください。

Aベストアンサー

微分方程式:x”(t)+a・x’(t)+b・x(t)=g(x)・・・(1)
初期条件:x(0)=α,x’(0)=β
を解いてみましょう

h(t)・x(t)の両側ラプラス変換をL(h(t)・x(t))≡X(s)とし
h(t)・g(t)の両側ラプラス変換をL(h(t)・g(t))≡G(s)とする
(h(t)・x(t))’=δ(t)・x(t)+h(t)・x’(t)
であるから
s・L(h(t)・x(t))=x(0)+L(h(t)・x’(t))
∴L(h(t)・x’(t))=s・X(s)-α
(h(t)・x(t))”=(δ(t)・x(t)+h(t)・x’(t))’
=δ’(t)・x(t)+2・δ(t)・x’(t)+h(t)・x”(t)
であるから
s^2・L(h(t)・x(t))=s・x(0)+2・x’(0)+L(h(t)・x”(t))
∴L(h(t)・x”(t))=s^2・X(s)-s・α-2・β
(1)式の両辺にh(t)をかけて両側ラプラス変換をすると
L(h(t)・x”(t))+a・L(h(t)・x’(t))+b・L(h(t)・x(t))=L(h(t)・g(t))
すなわち
(s^2+a・s+b)・X(s)=s・α+β+a・α+G(s)
∴X(s)≡(s・α+β+a・α)/(s^2+a・s+b)+G(s)/(s^2+a・s+b)
このあと部分分数展開と両側ラプラス変換表からx(t)を求める

微分方程式:x”(t)+a・x’(t)+b・x(t)=g(x)・・・(1)
初期条件:x(0)=α,x’(0)=β
を解いてみましょう

h(t)・x(t)の両側ラプラス変換をL(h(t)・x(t))≡X(s)とし
h(t)・g(t)の両側ラプラス変換をL(h(t)・g(t))≡G(s)とする
(h(t)・x(t))’=δ(t)・x(t)+h(t)・x’(t)
であるから
s・L(h(t)・x(t))=x(0)+L(h(t)・x’(t))
∴L(h(t)・x’(t))=s・X(s)-α
...続きを読む

Q線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報