a実数 f(x)=x^3-3ax とおく。
(1)f(x)=tが異なる3個の実数解をもつためには、a,tが満たす
条件を求めよ。
これは、y=f(x)とy=tの交点が3個になるときを考えて、
答えは、a>0,-2a√a<t<2a√a
(2)g(x)=f(f(x))とおく。g(x)=0が異なる9個の実数解をもつような
aの範囲を求めよ。
(1)から、f(t)=0 ,t=x^3-3ax これを満たすxが9個あることを考えれば
よいところまでは分かりましたが、このあとをどうしたらいいかわかりません。
よろしくおねがいします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
これはf(t)=0となるtの値が異なる3つの解をもち、かつ
各異なる3つのtに対してもf(x)=tとなるxの値が異なる3つの解を持てばいいわけだ。
ようするにf(t)=0⇔t=0,√3a,-√3a でa>0なら自動的にf(t)=0なるtの値は異なる3つ。
そして今度は1で考えた結果を利用してそれぞれtに当てはめて考えていくわけだ。
1)t=0のとき
1.よりa>0ならば結局f(x)=tなるxの値は異なる3つ
2)t=√3aのとき
1.よりa>0かつ-2a√a<√3a<2a√a ⇔a>4/3ならf(x)=tなるxの値は異なる3つ
3)t=-√3aのとき
1.よりa>0かつ-2a√a<-√3a<2a√a⇔a>4/3ならf(x)=tなるxの値は異なる3つ
以上からa>4/3なら各異なる3つのtに対してもf(x)=tとなるxの値が異なる3つの解を持つ。
No.4
- 回答日時:
tとxの対応は 1対3なので、tが与えられた範囲に異なる3つの実数解を持つと良い。
0=t^3-3at の3解が -2a√a<t<2a√a にあればよい。
あとは、簡単な方程式と不等式を解くだけ、それだけだよ。。。。。。w
置き換えたら、元の変数と置き換えた変数が、どのような対応になってるか必ずチェックする事。
特に、三角関数なんかは、対応が1対1でない場合が珍しくない。
回答ありがとうございます。
置き換えたら、元の変数と置き換えた変数が、どのような対応になってるか
この問題だけでなく、置き換えは、問題を解くときにわかりやすくもなるし、
複雑になって、つながりがわからなくなってしまう場合があります。
ありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
g(x)=(x^3-3ax)^3-3a(x^3-3ax)
=(x^3-3ax){(x^3-3ax)^2-3a}
=x(x^2-3a){x^3-3ax-√(3a)}{x^3-3ax+√(3a)}
a>0なら、x=0,√(3a),-√(3a)の3個が実数解があるから、
あとは、x^3-3ax-√(3a)=0で3個、x^3-3ax+√(3a)=0で3個の実数解があればいいことになる。
x^3-3ax-√(3a)=0
は、(1)でt=√(3a)の場合だから、aの条件は、
-2a√a<√(3a)<2a√a
これを解くと
a>√3/2
x^3-3ax+√(3a)=0
も同様に
-2a√a<-√(3a)<2a√a
からも
a>√3/2
以上から、aの範囲は a>√3/2
ただし、このときの9個の実数解が異なること証明する必要があるがこれは簡単でしょう。
回答ありがとうございます。
9個の実数解が異なること証明する必要がある。
をつぎのように考えました。
x(x^2-3a){x^3-3ax-√(3a)}{x^3-3ax+√(3a)}=0
x=0・・(1)
x=+√3a,-√3a・・(2)
x^3-3ax-√(3a)=0・・(3)
x^3-3ax+√(3a)=0・・(4)
(1)と(2)の解はa=0 でないから異なる。
(1)の解は、代入すると(3)(4)の解ではないことは明らか。
(3)(4)に共通な解が存在するとすると-√(3a)=+√(3a)となり、矛盾
よって、解はすべて異なる。
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