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次の連立方程式の解き方を教えてください。

ax^2+bxy+cy^2=0

dx^2+exy+fy^2=0

ここで、a,b,c,d,e,fは定数とする。2つの未知数に対して、2つの方程式があるので、理論上は解けると思うのですが、自明な解(x,y=0)しか求めることができませんでした。
どなたかこの2元2次の連立方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

ちょっと自信ありませんが,



ax^2+bx+c=0・・・(1)
の解をα,βとすると
与式第一式は

a(x-αy)(x-βy)=0・・・(3)

同じように
dx^2+ex+f=0・・・(2)
の解をγ,εとすると
与式第二式は

d(x-γy)(x-εy)=0・・・(4)

となります.
式(3)から x=αy ・・・(5) or x=βy ・・・(6)
式(4)から x=γy ・・・(7) or x=εy ・・・(8)
よって,(5)=(7)or(5)=(8)or(6)=(7)or(6)=(8)のどれかが成立しなければ,
(x,y)=(0,0)という自明な解だけになると思います.

問題として

ax^2+bxy+cy^2=g

dx^2+exy+fy^2=h

となっていれば,両式からx^2を消去してxをyで表現し,どちらかの式に代入すれば,yの2次方程式が得られて・・・
という風に解が求まると思います.
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この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時:2005/02/09 02:44

この連立方程式は,幾何学的には二つの推面の交点を求めるということですよね.推といっても2次元なので,直線が二本あるだけですが...



これは,適当な直交変換で

Ax^2+By^2=0
Cx^2+Dy^2=0

と方程式を変形できることからも分かります.
だから自明な解のみで正解です.
(#1の方の回答,凄いですね.感心しました)
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この回答へのお礼

この方程式には幾何学的な意味もあるんですね。驚きました。回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/02/09 02:47

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