関数の連続性

x^3+x^2-2x-1=0の実数解の存在する区間を求めよ。ただし、区間は幅1の会区間とし、その両端は正数値とする。

f(x)=x^3+x^2-2x-1 とおいて、うまく微分もできないし、どうすればいいでしょうか？教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/11 17:11

>区間は幅1の会区間

解区間または開区間の
どちらかの間違いですね。

>その両端は正数値
整数値の間違いですね。

>うまく微分もできないし、どうすればいいでしょうか？
f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2)…(A)
などを計算して
f(n)*f(n+1)<0となる所を探してください。
x=nのnを変えていたっとき
f(n)*f(n+1)<0となったら
n<x<n+1の間に実数解があると言えます。
（y=f(x)のグラフがx軸と交わる点のx座標が実数解です。）
nを順に...,-2,-1,0,1,2,...
と変化させていき
f(n)*f(n+1)の符号が負になるところ
を調べると3通り見つかります。（質問の方程式の場合）
f(x)=0は3次方程式ですから実数解は最大3個までしか存在しませんから
3個見つかればそれ以上調べる必要はありません。

やってみてください。

No.6 回答者： info22 回答日時： 2009/01/16 17:23

#1です。

A#1に書いたことをやってみましたか？
やった結果を補足に書いて、分からない所は質問して下さい。
せっかく回答しても応答なしでは問題解決しませんよ。

f(x)=x^3+x^2-2x-1
f(-2)<0,f(-1)>0なので-2<x<-1の間に解がある。
f(-1)>0,f(0)<0なので-1<x<0の間に解がある。
f(1)<0,f(0)>0なので1<x<2の間に解がある。
これで3個の解（3時）が出尽くしたことになる。

No.5 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/12 02:50

x^3 - 1 = -x(x-2)

と変形できます。これは
f(x)= x^3-1
g(x)= -x(x-2)
の2関数の交点を求める問題と等価です。
f(x)=0 は x>0 で実数解として x=1 なる解しか持ちたず、単調増加です。
g(x)=0 は x=0、2 という解を持ち、上に凸です。

このように簡単な3次関数と2次関数のグラフの知識を使用してよいのであれば、f(x)=g(x) は x>0 では 1<x<2 において一つの実数解を持つと結論できます。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2009/01/11 18:54

No.2です。

正数値とあったので１つしか書きませんでしたが、もし整数値ならあと２つあるので自分で調べてください。

この問題は、タイトルに「関数の連続性」とあるとおり、f(x)=x^3+x^2-2x-1　が連続関数であることがミソです。連続関数でない場合はこの理論は成立しません。

この回答への補足

正数値ではなく整数値でした。

補足日時：2009/01/11 19:32

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/11 17:41

闇雲に計算するのは賢明ではない。

x^3-2x＝1-x^2として、各々のグラフを描き、その交点を考えると、“見通し”は格段に良くなる。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/01/11 17:40

f(x)=x^3+x^2-2x-1

f(1)=-1
f(2)=7
f(x)の連続性から 1<x<2 の間で f(x)=0 となるxが存在する。

ということでは？