変数係数の微分方程式の解き方

変数係数斉次線形微分方程式y''+P(x)y'+Q(x)y=0の特殊解または、基本解系はどのように求めることができるのでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/02/27 19:48

　#3です。

間違えました。

＞
　定数係数の場合だけ、g，hに関する条件として、

　　g＋h＝－Ｐ（定数）
　　g・h＝Ｑ（定数）　　　　　　　　　　(6)

が得られます。
＞

ではなく、

　定数係数の場合だけ、g(x)＝exp(αx)，h(x)＝exp(βx)（α，βも定数）の形の積分因子が得られ、α，βに対して、

　　α＋β＝－Ｐ（定数）
　　α・β＝Ｑ（定数）　　　　　　　　　　(6)

という条件を導けます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/27 20:39

No.5 回答者： uchida_job_ok 回答日時： 2013/12/01 22:10

y''+P(x)y'+Q(x)y=0

変数係数2階線形斉次式の解の公式は存在しています。

超指数関数という特殊関数が定義されており、
この関数を使って、一次独立な一対の基本解が
記述されています。

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/02/27 19:39

　一階の線形微分方程式、

　　y'＋P(x)y＝0　　　　　　(1)

の場合は、積の微分公式の変形、

　　y'＋(g'/g)y＝(yg)'/g　　(2)

を利用する事によって、積分因子g(x)を、

　　g'/g＝Ｐ(x)　　　　　　　(3)

から計算できますが、それは(3)が幸運にも変数分離形になるからです。

　2階線形微分方程式、

　　y''＋P(x)y'＋Ｑ(x)y＝0　　　　　　(4)

の場合、同じ発想で、

　　(((yg)'/g)h)'/h　　　　　　　　　　　(5)

を計算する事により、Ｐ(x)，Ｑ(x)を既知関数として持つ、積分因子g(x)，h(x)の連立微分方程式を導く事は可能ですが、(4)よりも難しい微分方程式になるので、たぶん非定数係数の2階線形微分方程式の形式解（求積公式）はないと思います。

　定数係数の場合だけ、g，hに関する条件として、

　　g＋h＝－Ｐ（定数）
　　g・h＝Ｑ（定数）　　　　　　　　　　(6)

が得られます。(6)は解と係数の関係なので、これが定数係数のとき特性方程式を、

　　λ^2＋Ｐλ＋Ｑ＝0　　　　　　　　(7)

とおく、根拠になります。

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2013/02/27 19:06

＞変数係数の微分方程式の解き方

２階線形常微分方程式，y''＋P(x)y'＋Q(x)y＝0 は，P(x)とQ(x)の関数が具体的に決まらないと解く手だてがありません．y''＋P(x)y'＋Q(x)y＝0 を一般的に解く事は出来ません．１階線形常微分方程式とは，わけが違いますので・・・．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/27 17:42

公式に代入する