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常微分方程式の解法はどんなものがあり、どのような場合に適用すれば解けるでしょうか。
解法を覚えても、それが適用される場合についての判断ができません。教えてください!
以下の場合だとどのように解けばよいでしょうか。
(1)d^2x/dt^2+ω^2x=0の一般解の求め方。(ωは定数)
(2)dx/dt=-c^2y、
dy/dt=c^2x の一般解の求め方。(cは定数)
(3)dx/dt=u、
du/dt=-kx-cu+f(t) (k,cは定数)
のとき
(1)f(t)=0のとき、t=0でx=x0のもとでの解を求め る。
(2)f(t)=cosωtのときの解。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
一部だけ
(1)斉次方程式 x"+ω^2x=0の特性方程式:
s^2 +ω^2=ゼロの根 s=±iωから
一般解はx=c1 exp(iωt)+c2 exp(-iωt)=C sinωt + C' cosωt
(2)x'=-c^2y→x"=-c^2 y'
=-c^2 ×c^2 x=-c^4 x →x"+c^4 x=0
(1)のωをc^2で置き換えた形ですね。
→ x=C sin{(c^2)t} + C' cos{(c^2)t}
y=-c^(-2)x'=....
後はできますね。
(3)x'=u→
x"=u'=-kx-cu+f(t)
=-kx - c x' +f(x)
x"+ c x' +k x=f(t)
(3)-(1) x"+ c x' +k x=0
判別式D=(c^2 -4k)で場合わけして一般解を求める。
各場合について、初期値を入れて定数を減らす。
結果をu=x'に代入してu(t)を求める。
後はできますね。やってください。
(3)-(2)x"+ c x' +k x=cosωt
特殊解を x=A sinωt + Bcosωtとおいて上の式に代入してAとBを求めてください。これをxの式に代入して特殊解を確定してください。
一般解は、斉次方程式:
x"+ c x' +k x=0の一般解と上で求めた特殊解を加えて(3)-(2)の解とします。
後はご自分で考えてみてください。
ご自分でできると思います。
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