『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

微分方程式の
x^2y''+xy'-y=0

(1-x)y''+xy'-y=0
などのxが掛かっていて右辺が0である二階線形微分方程式の解き方がわかりません。
どなたか答えてもらえないでしょうか?

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A 回答 (4件)

まず上の微分方程式から。

一般にx^iと定数係数a_i(a_iという表記は数列)とyのi階微分(d^i/dx^i)yの積の級数
Σ{i=0,n}a_i*x^i*d^i/dx^i)y=f(x)
とすると、この微分方程式をオイラーの方程式と言います。これはx(t)=exp(t) ←大事
とおいて、y=y(x)に代入して
z(t)=y(exp(t))
とzに変換するとzに関する定数係数のn階線形微分方程式になります。上の問題では、変換して整理すると
z''-z=0
となりこれを解いて,yに戻せば一般解は
  y=Ax+B/x (A,Bは積分定数)
となります。

次に二番目の方程式。
このタイプはとりあえず特解をさがしましょう。←大事
特解はy1=exp(λx)と置いてみます。←大事
そして代入して整理すると
(1-x)λ^2+xλ-1=0 (A)
となります。因数分解すると
(λ-1){(1-x)λ+1}=0 (B)
ここで、特解を代入して(A)になったのは、λを定数として考えて代入したからなので,(B)の解の
λ=1/(x-1)
は不適。よって
λ=1となり
y1=exp(x)
となります。
次に別の特解をy2=c(x)y1と置きます。←大事
これを与微分方程式に代入して整理すると
c''(1-x)+c'(2-x)=0
ここで
z(x)=c'(x) ←大事
と置くと
z'(1-x)+z(2-x)=0
となり、変数分離してzについて解くと
z=A(1-x)exp(-x)
よってこれを積分するとc(x)なので解いて
c(x)=Ax*exp(-x)+D
よって
y2={Ax*exp(-x)+D}exp(x)=A+Dexp(x)
よって一般解yは
y=Ey1+Fy2=Gexp(x)+Hx
となります。
ここで,AからHまで積分定数ですが,その時に一番簡単な積分定数に直しました。

二番目の微分方程式は無理矢理解いたかもしれません。他にいい方法があるかもしれませんので他の人のも参考にして下さい。






  



 
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こんにちは



お聞きの方程式は、ガウスの超幾何微分方程式に属するのものと思われます。

特徴は

(xの二次式)y’’+(xの一次式)y’+定数=0

です。

解法については、わたくしの手元にあるものでよければ次のような参考書があります。

1)超幾何・合流系超幾何微分方程式(西本敏彦著、共立出版)
2)基礎過程 微分方程式 (吉野崇他著、培風館)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
今から図書館ででも参考書を探してみます

お礼日時:2005/03/07 11:24

非斎次線形2階非定数係数微分方程式


すなわち
y"+p(x)・y'+q(x)・y=r(x)
の一般解は研究が進んでいて
y"+p(x)・y'+q(x)・y=0
のy=0以外の解が1つ求まれば求める方法が開発されています

質問の式は両方とも斎次線形2階非定数係数微分方程式ですからもっと簡単ですね
両方とも
y=x
が1つの解ですからその方法でそれぞれ一般解を求めることができます
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間違いなく、「斉次方程式」と「ダランベールの階数低下法」を使えば解ける典型的な計算問題です。



ただし、解法そのものは、忘れてしまいました。。。
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Q定数係数以外の2階常微分方程式の解

次の問題の解法が分かりません。

次の常微分方程式の一般解を求めよ。
(1)y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
(2)x^2*y''-2y=x

定数係数であれば解けるのですが、このようにxを含む係数の場合どうすればいいのですか?

調べたら級数展開法というものが出てきたのですが途中の計算がよくわかりませんでした。

級数展開法ではない方法で解けるのですか?

Aベストアンサー

>もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?

とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…(☆)
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きます。(#1はちょっと誤植がありました。)
この場合だと、
u(x) = exp(-x^2-2x) として、
y = u(x) * z(x)
と変数変換すると、
u(x)*z''(x) + { 2u'(x) + p(x)*u(x) }*z'(x) = 0
というz'(x)に関する 1次微分方程式になります。
で、z'(x) の一般解を求めて、一回積分して z(x)を求めて、
y = u(x) * z(x)
で、元の微分方程式の一般解が求まります。

ただ、実際には(☆)の段階で、
独立な解が2つ求まるので、それの線形結合という形で簡単に一般解が求まります。
y = C1*exp(-x^2-2x) + C2*exp(-x^2+2x)

(2) x^2*y''-2y=x
とりあえず、まず、右辺0(斉次)としてみると、パッと見で一回微分すると次数が1減るみたいなんで、
単純に、y = x^α と置いて、斉次方程式に代入してみると、y=x^2 と、y=1/x が(独立な)解ということがわかります。
あとは、非斉次方程式の特殊解を見つければいいわけですが、これは、見た目から y=-x/2 ていうのが見つかります。
というわけで、一般解は、
y = C1*x^2 + C2/x - x/2
ですね。

>もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?

とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…(☆)
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きま...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分=傾き=tanθ=dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分=傾きの変化率(傾きの傾き)=d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
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Aベストアンサー

表記の仕方ですか?
dy/dxは 
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見た目ではdが2回掛かっているからd^2
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Q2次微分の変数変換

dy/dx=(dy/du)(du/dx) とかけて、dy/dxからdy/duの関係に変換することは積分でよくあります。

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たとえば、sinx=uとしますと、dy/dx=(dy/du)cosxになりますが、 d^2y/dx^2はどうでしょう。

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Aベストアンサー

最近同様の質問を見かけましたが、流行りなんでしょうか。

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1259534362

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q変位電流ってなんですか!!!???

現在マクスウェルの方程式を勉強しています。

そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

式の導出はいいから、結局変位電流ってなんなの?といった具合です。


教えていただけませんか?具体的にどういうものなのか、どういったときに見られる現象なのか?教えていただきたいです。

ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


矛盾していて困っています。

Aベストアンサー

 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

 そこだけ磁場が発生しない、というのは不自然で、やはりそこにも磁場が生じるはずだと考え、磁場を生じる原因として電場の変化があると考えられたのだと思います。

 磁場を生じるので電流と同じ働きをするが、電荷の移動である普通の電流とは違う、ということで「変位電流」というような呼び方をするようです。
 ※なぜ位置の変化を表す「変位」という言い方をするのかは私にはよくわかりません。識者の回答を待ちましょう。

http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf

Qx/(a^2+x^2)の積分について

x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか?

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想像力や創造力を
働かして,個別に,新しく考えねばなりません.そこが,また,魅力とも言えるでしょう.

高校,大学の演習問題ならば,過去に考えられている方法のいずれかが応用できます.
しかし,大学院や社会へ出るなどして直面する問題には,新しい方法を必要とする場合が多いです.
その時は,過去の応用問題は役に立たず,やはり想像力や創造力を発揮しなければ解決しない事が多いでしょう.

そこで,あなたが,

>>「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる!」

のではないか,と思い込んだ,その着想が大事なのです.
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき,などがなければ,物事の進歩・発展はないのです.

そう言う,あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので,
また,この様な,つたない回答(投稿)となりました.

●(注)些細な事かも知れませんが,f(x)の微分は,
  f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います.
  手書きで書く時も,カッコの後にプライム(ダッシュ)をつける
   f(x)' ではなく,f にプライムを付けて,f'(x) と書いています.
  私は,学生時代から今に至るまで,永年その様に書いていますが,
  最近の記号法は変わりましたか?

とめどもない書き込みで,お時間を取らせまして,大変失礼いたしました.

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想...続きを読む

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q変数係数の微分方程式の解き方

変数係数斉次線形微分方程式y''+P(x)y'+Q(x)y=0の特殊解または、基本解系はどのように求めることができるのでしょうか。

Aベストアンサー

 #3です。間違えました。


 定数係数の場合だけ、g,hに関する条件として、

  g+h=-P(定数)
  g・h=Q(定数)          (6)

が得られます。


ではなく、

 定数係数の場合だけ、g(x)=exp(αx),h(x)=exp(βx)(α,βも定数)の形の積分因子が得られ、α,βに対して、

  α+β=-P(定数)
  α・β=Q(定数)          (6)

という条件を導けます。


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