たけしのコマネチ大学数学科の過去の問題を教えてください

はじめて、フジテレビの番組「たけしのコマネチ大学数学科」をみました。
検索して、過去の問題をいくつかみましたが、
とてもおもしろそうでした。
今日は次のような問題でした。

「１，２，３、、、、１０００の番号が書かれたスイッチがある。
１の倍数のスイッチを押す。
２の倍数のスイッチを押す。
３の倍数のスイッチを押す。
・・・
１０００の倍数のスイッチを押す。
スイッチは押すごとに、オンとオフに変わる。
最後にオンの状態にあるスイッチは何個か？」

そして番組の後半で、平方数について、おもしろいことが紹介されていました。

たとえば、
９の平方は８１。
それを１０進法表示すると、２ケタですが、それを半分に分割すると、８と１。
その和は９。
それの平方は８１となり元に戻る。

たとえば、
４５の平方は２０２５。
それを１０進法表示すると、４ケタですが、それを半分に分割すると、２０と２５。
その和は４５。
それの平方は８１となり元に戻る。

録画していないので、詳しくは分からないのですが、そういった事情はすべての数で成り立つわけではなさそうです。
どのような数の場合に、そんなことが成り立つのでしょうか？

それと過去の問題について、整理して書かれてあるサイトは見つかりませんでした。
過去の問題はどんなのがあるか、教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： maimait 回答日時： 2006/07/07 13:06

番組の過去問はちょっと知りませんが、数学クイズみたいなものは面白い書籍や定番サイトがありますので探してみると楽しいかもしれません。

また、その番組は視聴していませんでしたが、質問者さんの紹介する問題が面白そうなので後半の平方数についてだけですが遊んでみました。

番組で紹介されていたという操作をやってみてたらこういう数字は、99までには
1（平方数は1）
9（平方数は81→8+1=9）
45（平方数は2045→20+45=45）
55（平方数は3045→30+45=55）
99（平方数は9801→98+1=99）

が該当しそうです。これだけでは特に目立った法則はないかなと感じます。やはり数学というよりパズルって感じがします。

しかし、これ変換で出てきた数字ですが、これには面白い性質がありました。
平方数を２桁毎に分け足し合わせて足し合わせる（出てきた数字が3桁以上になるとさらに2桁ごとに分けて同様の操作を続ける）操作してました。
（例）397→（２乗）157609→（２桁ごとに足す)15+76+9→99

そうして出てくる値は99の周期で同じ値になります。また、各周期内ではほぼ中央の49番目までと50番目以降で対称になっていました（１～98や100～197の区間で対称、99の倍数のところは対称でない）。

周期性の証明は簡単で、任意の整数を 99n+m とおき、上記の一連の手順を「操作」と呼ぶことにする。
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任意の数の平方数は (99m+n)^2=((100-1)m+n)^2 (m>1,0≦n≦98)
操作を考えると、mとnは整数であるため100倍する部分は1倍で足すことと同値になる。
よって、(100-1)の部分は消去でき、n^2だけが残る。
つまり、99の倍数部分は操作の結果に影響がないため、99ごとの周期性が得られる。
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最初に戻りますが、前述「目立った法則はない」としましたが、むりやり法則性をつけるとすると、1,9,45,55,99とこれらに99の倍数を足した数、ということになるでしょうか？

また、対象性の証明は、49+n と 50-n の平方数の操作結果を比較すればよく、
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(49+n)^2
= 2401+98n+n^2
= 100(24+n)+1-2n+n^2 ここで操作すれば
24+n+1-2n+n^2
=25-n+n^2

(50-n)^2
= 2500-100n+n^2
= 100(25-n) +n^2 ここで操作すれば
25-n+n^2

両方は同値ですので、対照性が証明できました。
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最初の質問とは大きくそれましたが、楽しめました。
TV番組で出すだけあって面白い操作を考えるものですね。こんどからチェックしてみようかと思います。