漸化式の解を求めてください

化学系の研究をしているものですが，
解析をしていて，行き詰まりました．

下の式の一般項[An]を求めてほしいのですが・・・．
([]は見やすくするためで，意味はありません）

log([An+1] / [An]) = B([An] -1)

[An]は数列です．
初項はA0（定数）です．
Bは定数です．
nは0以上の整数です．

この数列が解けないと研究が先に進みません．
どなたか解ける人，よろしくお願いします．

No.1 回答者： mickel131 回答日時： 2002/04/11 20:51

漸化式　log([An+1] / [An]) = B([An] -1) の　logの中の

([An+1] のところは、
第ｎ項　An　に１を足したものではなく、
第（n+1)　項　でいいですね？

私もまだ解けていませんが、やったところまで書いてみます。

数列の第ｎ項　を　 A（n）と書くことにします。　
nは0以上、ということですので、
まず、ｎは１以上の場合について考えます。

log(A（n+1） / A（n）) = B(A（n） -1) 　　---(1)
nをn-1に代えて、
log(A（n） / A（n-1）) = B(A（n-1） -1) 　---(2)
この(1),(2)は、ｎが１以上の場合（n-1が０以上の場合）について成り立つ。

（１）から（２）を引いて定数項のBを消去します。（１）－（２）の式で、
左辺＝log(A（n+1） / A（n）)－log(A（n） / A（n-1）)
　　＝log（（A（n+1） / A（n））÷(A（n） / A（n-1）) ）
　　＝log(A（n+1） / A（n-1）)
右辺＝B(A（n） -1) －B(A（n-1） -1)
　　＝B（A（n）－A（n-1））
となり、１以上のnに対し、
log(A（n+1） / A（n-1）) ＝B（A（n）－A（n-1））　　－－－（３）
が成り立ちます。

この式のnをkに代えて、ｋが１のときからｎのときまで辺々足しますと、
log((A（n+1）*A（n）/A（0）)＝B｛A（n）－A(0)} －－－（４）
が得られます。

この回答への補足

遅くなりました。
もちろん[n+1]は第（n+1）項です。

自分もmickel131さんのようにそこまでは行き着いたのですが，
その後がどうしても進みません。
簡単なようで意外に難しいのでしょうか。

できれば続きもよろしくお願いします。

補足日時：2002/04/12 12:34

No.2 回答者： mickel131 回答日時： 2002/04/12 21:19

計算間違いをしていました。

「（１）から（２）を引いて定数項のBを消去します。」
の後です。左辺の引き算の結果が間違っていました。
log（（A（n+1） / A（n））÷(A（n） / A（n-1）) ）
は
log(A（n+1） / A（n-1）) じゃなくて
log(A(n+1)*A(n-1)/(A(n)^2))でした。
だから、（３）式以降も
間違っています。
他の方も、遠慮なく回答してください。

No.3 回答者： mickel131 回答日時： 2002/04/13 00:17

まだ、計算間違いをしているかもしれませんが、

A(n)=A(0)*Exp(B*(A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）-n)）
であれば、漸化式（１）を満たす

という結果がでました。
これは、漸化式（１）を満たすための、（必要条件ではなくて）十分条件です。
他の「解」があるかもしれません。
また、この式自体、まだ漸化式ですから、解けた形にはなっていませんが、もし、
A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）が別の方法で簡単に求められるなら、解決するはずです。
参考になればよいのですが・・・。
それから、この数列の極限（nを∞にしたとき）が有限確定値になるとすれば、その値は１になります。しかし、無限に発散するかもしれません。（まだ、よく考えていません。）
この漸化式には興味を感じているので、きのう（というか、おととい）から継続思考中です。さらに結果が出たら、またお知らせします。

No.4 回答者： mickel131 回答日時： 2002/04/13 21:04

簡単なようで意外に難しいですね。

まだ解けません。
たくさん計算して、何か結果が得られたと思ったら、はじめの式をちょっと変形しただけの結果であることがわかり、がっかりする。そんな感じですね。
A(n)=A(0)*Exp(B*(A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）-n)）
は必要十分条件であることが、簡単に出ました。
はじめの漸化式 の n をk に代えた式
log(A(k+1) / A(k)) = B(A(k) -1)
を　ｋ＝０、１、２、・・・、n-1
について辺々加えるだけで、
log(A(n)/A(0))=B*(A(0)+A(1)+A(2)+・・・+A(n-1)-n)　－－－（＊）
が得られます。この式から直ちに
A(n)=A(0)*Exp(B*(A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）-n)） －－－（＊＊）
が出ます。（私はこの式を違うやり方で求めていたのです。）
（＊）のnを１，２，３，・・・，n-1に代えた式を作り、そのn-1個の式を辺々加えると、次のような式も出ます。
log(A(1)*A(2)*A(3)*・・・*A(n-1))
=(n-1)logA(0)+B((n-1)A(0)+(n-2)A(1)+(n-3)+・・・＋3A(n-4)+2A(n-3)+A(n-2)-n*(n+1)/2)
（＊＊）を用いて、A(1),A(2),A(3)を初項A(０）と　定数Bだけを用いて表してみるということもやってみました。A(3)ですら、大変複雑な式になります。

No.5 回答者： kony0 回答日時： 2002/04/14 01:03

A0とBってどれくらいの値なんでしょうか？

値の設定によっては、振動とかもありそうですが・・・

ちなみに、B>0, A0<1の場合だと、[An]は単調減少で（帰納法で明らか）0に収束しますよ。収束の早さはだいたいe^(-n)よりちょっと遅い程度だと思います。

No.6 ベストアンサー 回答者： mickel131 回答日時： 2002/04/14 10:06

kony0さん、書き込みありがとうございます。

単調減少、とか、収束の早さ、とか、大事な視点に気付かせてもらいました。
dentouさん、きっと解ける人がいるはずです。気長にお待ちください。

収束については、lim[n→∞]A(n)=p としますと、
log(A(n+1)/A(n))=B(A(n)-1)　でｎを無限大にしたとき、
lim[n→∞]log(A(n+1)/A(n))　=　lim[n→∞]　B(A(n)-1)
でなければなりません。
この左辺は　log(p/p) つまり　log1 つまり　０　です。
右辺＝B *(p-1) ですから、
B *(p-1)＝０　より、ｐ＝１
収束する場合、収束値は１、と思います。

それから、収束する場合、No.4の
A(n)=A(0)*Exp(B*(A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）-n)） －－－（＊＊）
で両辺のｎを∞にして、左辺が１に近づく条件は何でしょうか？

A(0)+A(1)+A(2)+・・＋A(n-1）-n　が発散したら、右辺は発散してしまうから、
この式が収束しなければいけない。 この収束値をｑとすると、
十分大きなｋ（＜ｎ）に対して、A(ｋ)はおよそ　A(0)*EXP（Bq）ということになりますが、この値が１より大きければ（＊＊）中の
A(0)+A(1)+A(2)+・・・＋A(n-1）-n の値はどんどん大きくなってしまい、
A(n)は１に収束することはできない・・・・・・だから、q=0 ?・・・
（この数行はひとり言）

数列A(n)のすべての項が１である場合、漸化式を満たしますが、これは自明な数列
というべきでしょうね。それ以外の数列で、１に収束するものが有り得るか？
無いと思っています。
（＊＊）を用いて、A(1),A(2),A(3)を初項A(０）と　定数Bだけを用いて表してみた感じでそう思います。自明な場合を除き、A(n）は発散する、と予想します。

[No.4の記事に間違いがあったので、訂正]
No.4の下から３行目の　B　括弧でくくられた部分
B((n-1)A(0)+(n-2)A(1)+(n-3)+・・・＋3A(n-4)+2A(n-3)+A(n-2)-n*(n+1)/2)
の 第３項　+(n-3)+　は、A(2)が抜けていました。
+(n-3)A(2)+ が正しいので、訂正させていただきます。

この式に関してもう１つ。
A(0)+A(1)+A(2)+・・・＋A(n-1)=S(n) 、S(1)=A(0)　と置くと、
B（　　）の中の式は、
(n-1)S(n-1)+(n-2)S(n-2)+・・・+3S(3)+2S(2)+S(1)
とも書けます。

この回答への補足

mickel131さん，回答ありがとうございます！
たくさん書き込みしていただき，感謝しています．

だいたいここまでの文章を読ませていただいて思ったことは，
「A(n)には一般項は存在しない」
または，
「条件分けが鍵を握っている」
ということなのでしょうか？

週末に私自身も考えたのですが，なかなかまとまりません．

とりあえず，ここら辺で整理するために，
最低限欲しい条件などをまとめたいと思います．
欲しい条件を教えてください．
（例：A<0など）

案外解けそうで解けない問題．
数学の奥深さが教えられた問題かもしれませんね．

補足日時：2002/04/15 23:09

No.7 回答者： kony0 回答日時： 2002/04/14 12:36

あまりまじめな議論は苦手なのです。

^^;

B>0, 0<A(0)<1のとき・・・

log(A(1)/A(0))=B(A(0)-1)<0よりA(1)<A(0)<1、
またA(1)=A(0)*exp(B(A(0)-1))>0
あとは帰納法（これは略。上とまったく同じ）で、0<...<A(n)<A(n-1)<...<A(1)<A(0)<1

さて、A(n)=A(n-1)*exp(B(A(n-1)-1))<A(n-1)*exp(B(A(0)-1))（B>0, A(n-1)<A(0)より）となります。ここでexp(B(A(0)-1))=K（B>0, A(0)<1より、Kは0<K<1を満たす定数）とおくと、
0<A(n)<A(0)*K^nとなるので、n→∞とすればA(n)は0に収束します。

またA(n)がほとんど0であるような十分大きいnに対しては、A(n+1)/A(n)はほとんどe^(-B)に等しいといえるので、後ろのほうではKよりももっとはやいe^(-B)倍ずつ程度で0に収束していくと言えるでしょう。

B>0, A(n)>1のとき・・・
上と同じ議論をすればすぐに、発散することがいえます。

あるkに対してA(k)=1のとき、明らかに任意のn>=kに対してA(n)=1がいえます。

B>0, A(0)<0のとき・・・
0<A(n+1)/A(n)<1, A(n)<0より0>A(n+1)>A(n)・・・単調増加でかつ上に有界
これも0に収束していくんでしょう。

B=0ならば、A(n)は定数関数です。

さて、あとの議論はB<0のときのみです。この場合はおそらく振動するんでしょうねぇ。おそらくdentouさんが「一般項がほしい」と思われているのも、B<0だからじゃないかと思うのですが。。。

この場合は、収束するなら１なんだと思います。ただし、どうやらA(n)が小さすぎる値（ほとんど0である正の値）になった場合、A(n+1)はすごく大きな値に爆発したりすることもあるようで、1のまわりの幾許かには、このエリアの中に入ってしまえば、あとは1に収束していくよという帯があるのでしょうが、その帯の上下どちらにA(n)の値が離れてても、なかなか不安定な挙動を示しそうです。（実は数式的にはなーんにも考えてないです。すみません）

dentouさんがもともと欲しいとされている、一般項の求め方については、全くno ideaです。ごめんなさい。。。

この回答への補足

kony0さん，回答ありがとうございます！
こんな複雑な問題につきあってくれて感謝してます．

この問題については，先に私が補足したことを読んでいただけたら幸いです．
ですからＢ＜０などの条件なども必要であるならば，そのときまとめたいと思います．
個人的にはＢ＜０はないような・・・．

私もこの問題についてはかなりの時間を費やしているのですが，
条件すら求めるのがつらいです（汗）．

私が数学に疎いので議論がかみ合っているかどうかが心配ですが・・・．

補足日時：2002/04/15 23:29

No.8 回答者： black_monkey 回答日時： 2002/04/15 02:28

black_monkeyと言います。

殆ど内容がありませんが、蛇足のコメントをさせていただきます。
読み捨ててください。
表式は、mickel131さんの記述に従います。
【一般項の表式】
題意より(1)式の漸化式を考えます。
(1) log(a(n+1)/a(n)) = b*(a(n)-1)
a(n)について解くと、
(2) a(n+1)=a(n)*exp(b*(a(n)-1))
ここで関数f(x)を(3)式で導入します。
(3) f(x)=x*exp(b*(x-1))
a=a(0)としますと一般項は
(4) a(n)=f(f(f( … f(a)…)))
で与えられることがわかります。
(4)式について、具体的に考えると以下のようになり、mickel131さん、kony0さんの述べれているとおり複雑な式となります。
(4)式の具体的な表式は、指数の肩に前の表式が組み込まれていくような形となり複雑なものとなります（表現が不正確ですが、ご勘弁下さい。）。
例えば、n=2までについて表記すると以下の通りになります。
a(0)=a
a(1)=a*exp{b*(a-1)}
a(2)=a*exp{b*(a-1)}*exp{ b*(a*exp{b*(a-1)}-1)}

一般項は、(4)式のように、初項を用いて再帰的に定義されることがわかります。ただこの表式では、具体的に計算可能ですが、ｎ→∞で、その振る舞について、簡単に推定する事ができないのであまり御利益がありません。

【(4)式について】
mickel131さん、kony0さんが述べられているように、(4)式は、
b=0でa(n)=a
a=1でa(n)=1
という性質を持ちます。
kony0さんの説明にありますa=1の周りでのa(n)の振る舞いについて蛇足説明をさせていただきます。
こうがくやさん、ぶつりやさんがよくやるように、a=1+δとおきδの1次の近似までを考慮して、a=1の近傍での振る舞いについて考えます。
a(1)=(1+δ)*exp(b*δ）
=1+(1+b)*δ

a(2)=a(1)*exp(b*(a(1)-1))
=(1+(1+b)*δ)*exp(b*(1+(1+b)*δ-1))
=(1+(1+b)*δ)*exp(b*(1+b)*δ)
=(1+(1+b)*δ+b*(1+b)*δ)
=(1+(1+b)*(1+b)*δ)

a(3)=a(2)*exp(b*(a(2)-1))
=(1+(1+b)*(1+b)*δ)*exp(b*((1+(1+b)*(1+b)*δ)-1))
=(1+(1+b)*(1+b)*δ)*exp(b*(1+b)*(1+b)*δ)
=1+(1+b)*(1+b)*δ+b*(1+b)*(1+b)*δ
=1+(1+b)*(1+b)*(1+b)*δ

以上からa(n)は
(5)　a(n)=1+(1+b)^(n)*δ
と類推されます。

(5)式より、-2<b<0の範囲では、δの一次の近似で、n→∞でa(n)→1になることがわかります。この結果より、a=1の近くで、-2<b<0でa(n)は1になることが予想されます。

【猿の戯言】
a(n)がパラメータ空間(a,b)で、どの様に振る舞うのかを調べるのに、身も蓋もないやり方かもしれませんが、泥臭く数値計算で調べていくと言うのも一案かと思います。
ざっくり的に
a>0,b<0でa(n)は、振る舞い色々
a>0,-2<b<0でa(n)→1
a<0,b>0でa(n)→0
a<0,b<0でa(n)→発散
a>0,b>0でa(n)→発散
となるのかなぁ～？
(注：上記の結果は、エエカゲンかつ粗い精度の計算なので、(a,b)の境界の値についてはたぶんウソがあります。なにぶん猿なもんですから～。)

誤記・ウソ・誤計算がありましたらゴメンなさい。

この回答への補足

black_monkeyさん，回答ありがとうございます！
大変貴重なご意見をいただき，感謝してます．

a=1+δとおきδの1次の近似までを考慮する方法は知りませんでした．

ここら辺でなにか，場合分けの鍵がちらほら見えてきた感じがします．

black_monkeyさんの戯れ言が正しければ，それがこの数列の求められる限界なのですかね？

数式的には簡単ですが，求めるとなると難しい．
某大学の入試とかにでてきそうですね．

補足日時：2002/04/15 23:37

No.9 回答者： black_monkey 回答日時： 2002/04/17 03:12

black_monkeyです。

【猿の戯言】の記述に誤記がありました。この誤記は、混乱を引き起こす要因となりますので、念のため下記のよう修正させていただきます。
【修正】
「
ざっくり的に
a>0,b<-2でa(n)は、振る舞い色々 　　
a>0,-2<b<0でa(n)→1
a<1,b>0でa(n)→0
a<0,b<0でa(n)→発散
a>1,b>0でa(n)→発散
b=0でa(n)=a
a=0でa(n)=0
a=1でa(n)=1
」

black_monkeyのNo7の記述は、kony0さんの厳密な証明結果と矛盾する部分があります。black_monkeyの誤りです。
(なにぶん猿なもんですから～、計算結果をよく確認せずにざっくり的に判断してコメントしていまいました。)

誤記・ウソ・誤計算がありましたらゴメンなさい。

No.10 回答者： black_monkey 回答日時： 2002/05/02 01:07

black_monkeyですぅ～。

数学的一般的解法ではありませんが、下記のようなグラフを用いた手ミュレーションで調べてみたらいかがでしょうか？具体的なa,bの値が与えられていればざっくり的にどの様な値になるか予測できるかと思います。
【手ミュレーション手順】
(1) y=f(x)=x*exp(b*(x-1))
(2) y=g(x)=x

手順1　与えられたbの値に対して、(1),(2)式のグラフをx-y平面にプロットします。
　　(Excell等を用いてプロットしてみて下さい。)
手順2　点(a,0)から開始し、垂直方向に移動し(1)式との交点P1を求めます。
手順3　点P1から水平方向に移動し(2)式との交点Q1を求めます。
手順4　点Q1から垂直方向に移動し、(1)式との交点P2を求めます。
手順5　点P2から水平方向に移動し、(2)式との交点Q2を求めます。

手順2～手順5の操作を繰り返すことで数列の極限値が求まります（手順2～手順5の操作の繰り返しは、a(n)=f(f(f( … f(a)…))) の再帰的な計算を実行していることに相当しています）。
極限が発散するか、振動するか、固定点に収束するか、上記のグラフと定規を用いた作図で調べることが可能だと思います。

【蛇足】
・題意のような再帰的な数列は、物理方面（カオス）で見たような気がぁ～……。
・数学屋さんでなければ、上記の様な作図等による解法も有りかなぁ～と、思いますぅ。
・厳密な一般議論は、他の数学が得意な方々にお任せということでぇ～、撤退しますぅ～。

誤記・ウソがありましたらゴメンなさい。