マンガでよめる痔のこと・薬のこと

y=-3xを原点を中心に時計回りに90度回転させるとy=1/3xですよね。これは傾きをかけると-1になることを利用してすぐに解けるのですが、y=-3xを原点を中心に時計回りに45度回転させた直線の式は、どのように求めればいいのでしょうか?

教えて下さい!

A 回答 (3件)

一般にθ゜回転させたものは,No1さん,No2さんのようにして求めますが,45゜に限れば次のように簡単に求められます。



y=-3x は原点と A(-1,3) を通る。
90゜回転したものは B(3,1) を通る。
45゜回転したものは,ABの中点 M(1,2) を通る。
ゆえに,y=2x 。

数学では,回転する向きはx軸(の正の部分)がy軸(の正の部分)に重なる向きに計ります。
ふつうは反時計回り(コンピュータの画面の座標は時計回り)です。
No1さんの解答 y=-1/2x はふつうに45゜回転した場合です。
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この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明、ありがとうございます!

自分でも原点と(-1,3)を直径とする円を書いたりしてみたら、なんとか解けました!

皆様、ありがとうございました!

お礼日時:2006/11/24 15:44

回転の公式というのがあります。


証明自体は、参考書に載っていませんか?

点(x、y)を原点の周りに(時計回りで)θ回転するなら、新しい座標(X、Y)との間に、X=x*cosθ+y*sinθ、Y=y*cosθ-x*sinθが成立する。

これをこの問題に適用すると、θ=45°ですから、x→(x+y)/√2、y→(y-x)/√2とすれば良いだけです。
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y=-3x とx軸の正方向とのなす角をθとすると


  tanθ=-3
また、求める直線の傾きmは m=tan(θ+45°)
 加法定理を使って
tan(θ+45°)={tanθ+tan45°}/{1-tanθ×tan45°}
      =(-3+1)/{1-(-3)×1}=-1/2
よって y=-1/2x
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Q直交座標でグラフを回転させるような関数の変換

y=axの場合にはaの値を変えればグラフが回転するように見えますが、ほかの関数でも同じような方法が適用されるのでしょうか。

Aベストアンサー

一般には、座標の回転として知られている事。この公式を使えば、全ての直線・曲線に使える。
その証明も 加法定理を使うと簡単に行く、URLを貼っておく。

http://1st.geocities.jp/shift486909/program/spin.html

Q原点中心に図形を回転させる。(サインとコサイン)

xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

と書いてあります。

どうしてこうなるのかわかりやすく教えてください。
サイン、コサインについては何も知らないので、そこのところの説明からお願いします。猿です。

Aベストアンサー

100Goldさん、こんにちは。

>xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

まず、この前にサイン、コサインが分からないとのことですので
参考URLを見て下さい。

直角三角形がありますね。右下に直角を位置したような直角三角形で、
ちょうどSの字を描くように(筆記体のS)

(高さ)/(斜辺)=sin(サイン)

(底辺)/(斜辺)=cos(コサイン)といいます。

このほか、タンジェントもあります。

また座標表現のところを見てみましょう。
半径rの円周上の点(x,y)の座標は、
この点と原点を結ぶ直線(半径)と、x軸とのなす角度αによって

(x,y)=(rcosα,rsinα)・・・(☆)
と表されるのです。

さて、このことを用いて、

(x,y)=(rcosα,rsinα)ですが、これをθだけ回転させた座標(x',y')とは
x軸から考えると(α+θ)だけ動かしたことになります。
ですから、(☆)において動かす角度をx軸から考えて(α+θ)だと考えると

(x',y')=(rcos(α+θ),rsin(α+θ))・・・(★)
となります。

ここで、三角関数の加法定理というのがあるのですが、
100Goldさんはサイン、コサインがまだよく知らないとのことですので、
そういう定理があるんだな、とご理解ください。
それによると、

cos(α+θ)=cosαsinθ-sinαcosθ
sin(α+θ)=sinαcosθ+cosαsinθ
のようになります。

これを(★)に代入すると

x'=rcos(α+θ)=r{cosαsinθ-sinαcosθ}=rcosαsinθ-rsinαcosθ
ここでrcosα=x,rsinα=yですから
x'=xsinθ-ycosθ

同様に
y'=sin(α+θ)=r{sinαcosθ+cosαsinθ}=rsinαcosθ+rcosαcosθ
=xcosθ+ysinθ

となるので

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

がいえますね。ご参考になればうれしいです。

参考URL:http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/digipt/sincos.html

100Goldさん、こんにちは。

>xy座標上にある図形を原点中心に回転させるためには

x'=xcosθ-ysinθ
y'=xsinθ+ycosθ

まず、この前にサイン、コサインが分からないとのことですので
参考URLを見て下さい。

直角三角形がありますね。右下に直角を位置したような直角三角形で、
ちょうどSの字を描くように(筆記体のS)

(高さ)/(斜辺)=sin(サイン)

(底辺)/(斜辺)=cos(コサイン)といいます。

このほか、タンジェントもあります。

また座標表現のところを見てみましょう。...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
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Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q座標を回転させる計算方法を教えて下さい。

例 三角形(a,b,c)の a を基点として回転させる計算方法

a x = 200 y = 100
b x = 1500 y = 100
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難しくはないと思いますが三角関数が苦手なので教えて下さい。

Aベストアンサー

回転する角度をθとします。a点のxをax, yをayと書きます。以下同様。
px=bx-ax, py=by-ay
を計算し、
px' = px cosθ - py sinθ
py' = px sinθ + py cosθ
そして、
bx' = ax+px', by' = ay+py'
このbx', by'が新しいbの座標です。cも同様にして計算すればおっけー。

Qエクセルで回転する座標の出し方

エクセルで回転する座標の出し方
(例)
座標X100、Y100の点から好きな角度を回したときのX、Yの座標の求め方
回転中心はX0、Y0
回転方向は反時計回り
例で言えば X141.421、Y0  が0度
      X0、Y141.421  が90度
      X-141.421、Y0 が180度
      X0、Y-141.421 が270度

エクセルでの問題点は
1.角度計算がラジアンになる デグリも関数はあるけど書式がわからない
 無理やり(PI()/180)などを使ってるがアークタンジェントでは書式がわからない

2.正と負の計算式・答えが負になるときの処理ができない
 回転角度が270度とか



今電卓で打っているのは
100/100=ATAN ----------------------最初の角度

100*100+100*100の答えのルート--------回転中心からの直線距離

最初の角度+動かしたい角度------------求めたい座標の角度

SIN求めたい座標の角度*直線距離-------Y座標 答え

COS求めたい座標の角度*直線距離-------X座標 答え



最初のX、Y座標と 動かしたい角度を入れると答えが出るような
物が作りたいです よろしくお願いします

エクセル2000
WINXP

エクセルで回転する座標の出し方
(例)
座標X100、Y100の点から好きな角度を回したときのX、Yの座標の求め方
回転中心はX0、Y0
回転方向は反時計回り
例で言えば X141.421、Y0  が0度
      X0、Y141.421  が90度
      X-141.421、Y0 が180度
      X0、Y-141.421 が270度

エクセルでの問題点は
1.角度計算がラジアンになる デグリも関数はあるけど書式がわからない
 無理やり(PI()/180)などを使ってるがアークタンジェントでは書式がわからな...続きを読む

Aベストアンサー

エクセルは行列演算ができます。
ビジネスでは回転は出てきたことがなく(統計ではあり)、小生の知識は生半可ですが参考までに記してみます。(誤りの個所がもしあればごご容赦ください。)
理系の方なら、ご存知なければ、勉強して見てください。
#1のご回答の回転の行列を左側からの行列乗算をすれば
複雑な関数式を使わなくてできるはず。
>エクセルで回転する座標の出し方
点(x1、y1)を原点周りにΘラヂアン(or度)回転した時の点の新座標、点(X2,Y2)を計算すると言うことですね。回転するの「する」は「させた」の意味ですね。
>回転方向は反時計回り
これは通常です。
>角度計算がラジアンになる 
ご存知でしょうが、エクセルにはRADIANS関数があります。RADIANS(角度)=ラヂアン
>デグリも関数はあるけど
ラヂアンを度に変換。
=DEGREES(角度)=度
>書式がわからない
エクセルに書式という別の用語があり紛らわしいですが、ここでは、引数の配置、数と意味のこと?
>無理やり(PI()/180)などを使ってるが
RADIANS関数を使わなければそうなりますね。
>アークタンジェントでは書式がわからない
=ATAN(数値)でラヂアン値が-π/2からπ/2の間で返ってくる。
>書式がわからない
前述の通り、意味が判らない。
----
値としてA1に角度を120とか度で入れる
D2にCOS(s)にあたる=COS(RADIANS(A1))
D3にsin(s)にあたる=SIN(RADIANS(A1))
E2に-SIN(s)にあたる=-SIN(RADIANS(A1))
E3にcos(s)にあたる=COS(RADIANS(A1))
A2にX1の座標値、A3にY1の座標値、
B2に中心のX座標、B3に中心のY座標を入れる。
C2に=A2-b2,C3に=A3-B2
C2:C3にD2:E2の行列をかける。
http://www.metro-hs.ac.jp/rs/sinohara/zahyou_rot/zahyou_rotate.htm
行列の乗算はMMULT関数を使います。
E2に=MMULT(c2:c3,D2:E3)と入れてControlキーShiftキーを左手指で押さえて、右手指でEnterキーを押す。
「配列数式」です。
シフト+コントロル+エンタキーを押す前に答えを出すセルの範囲指定(F2:D3)をしておく必要があります。
http://www.katch.ne.jp/~kiyopon/kansuu/abs.html#MMULT
あと原点まで座標を戻す必要があると思います。

エクセルは行列演算ができます。
ビジネスでは回転は出てきたことがなく(統計ではあり)、小生の知識は生半可ですが参考までに記してみます。(誤りの個所がもしあればごご容赦ください。)
理系の方なら、ご存知なければ、勉強して見てください。
#1のご回答の回転の行列を左側からの行列乗算をすれば
複雑な関数式を使わなくてできるはず。
>エクセルで回転する座標の出し方
点(x1、y1)を原点周りにΘラヂアン(or度)回転した時の点の新座標、点(X2,Y2)を計算すると言うことですね。回...続きを読む

Q3次元ベクトルをある軸ベクトルで回転させたい

3次元ベクトルの求め方を教えてください。

下記図のように始点を軸ベクトルでθ(度)だけ回転したときの?の位置を求めたいのです。
これはどのような計算方法になるのでしょうか?なかなか思いつかなくて非常に悩んでいます。
アドバイスや回答をいただけたら助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

先ず、中心点(Sx,Sy,Sz)が原点にくるよう全体を平行移動させます。
(一番最後に元に戻します)
始点(Px,Py,Pz)は、(Px-Sx,Py-Sy,Pz-Sz)に移ります。この座標を(Px',Py',Pz')とします。

次に、回転軸ベクトル(Ax Ay Az)を回転させ、x軸に合致させます。それには二回の
回転変換が必要です。
最初に、ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルが
z軸に合うよう、x軸を回転させます(その角度をφとします)。
すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸に合うよう、z軸を回転させます
(その角度をψとします)。

ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルは、(0 Az -Ay)。
x軸周りにφ回転させると、このベクトルは、
「1  0    0   「 0  =「      0
0 cosφ -sinφ   Az   Az・cosφ+Ay・sinφ
0 sinφ  cosφ」 -Ay」  Az・sinφ-Ay・cosφ」
で、z軸ベクトルに合うので
「      0      =「0
Az・cosφ+Ay・sinφ  0 
Az・sinφ-Ay・cosφ」  1」
これから、cosφ=-Ay/(Ay^2+Az^2)、sinφ=Az/(Ay^2+Az^2)
∴ φ=Arctan(-Az/Ay)

回転軸ベクトル(Ax Ay Az)は、
「1  0    0   「Ax =「      Ax      =「       Ax                   =「Ax 
0 cosφ -sinφ   Ay   Ay・cosφ-Az・sinφ   Ay・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}-Az・{Az/(Ay^2+Az^2)}   -1
0 sinφ  cosφ」  Az」   Ay・sinφ+Az・cosφ」  Ay・{Az/(Ay^2+Az^2)}+Az・{-Ay/(Ay^2+Az^2)}」  0」
に変換され、x-y平面上に乗ります。これを(Ax' Ay' Az') とします。
つまり、(Ax' Ay' Az')=(Ax -1 0)

始点(Px',Py',Pz')もこの変換を受けるのですが、変換を全部纏めて後、一括変換させます。

今度は、x-y平面上に乗った回転軸ベクトル(Ax' Ay' Az')を、z軸の周りにψ回転させます。
「cosψ -sinψ 0 「Ax'  =「Ax'・cosψ-Ay'・sinψ =「Ax・cosψ+sinψ
sinψ  cosψ 0   Ay'   Ax'・sinψ+Ay'・cosψ   Ax・sinψ-cosψ
  0    0   1」  Az'」       Az'      」     0      」
これが、x軸ベクトルに合うので、
Ax・cosψ+sinψ=1
Ax・sinψ-cosψ=0
これから、cosψ=Ax/(Ax^2+1)、sinψ=1/(Ax^2+1)
∴ ψ=Arctan(1/Ax)

以上の回転の変換の積は、
「cosψ -sinψ 0 「1  0    0   =「cosψ -sinψ・cosφ  sinψ・sinφ
sinψ  cosψ 0   0 cosφ -sinφ   sinψ  cosψ・cosφ -cosψ・sinφ
  0    0   1」  0 sinφ  cosφ」   0     sinφ      cosφ   」

この変換を始点(Px',Py',Pz')に施します。
「cosψ -sinψ・cosφ  sinψ・sinφ  「Px' = 「Px'・cosψ-Py'・sinψ・cosφ+Pz'・sinψ・sinφ
sinψ  cosψ・cosφ -cosψ・sinφ  Py'   Px'・sinψ+Py'・cosψ・cosφ-Pz'・cosψ・sinφ
  0     sinφ      cosφ   」 Pz'」  Py'・sinφ+Pz'・cosφ               」 

この点を(Px”,Py”,Pz”)とします。

さて、ここでx軸に合った回転軸ベクトル(1 0 0)周りに(Px”,Py”,Pz”)を角度θ、回転させます。
「1  0    0   「Px” =「     Px”   
0 cosθ -sinθ   Py”  Py”・cosθ-Pz”・sinθ 
0 sinθ  cosθ」  Pz”」  Py”・sinθ+Pz”・cosθ」

これを(P_x, P_y, P_z)とします。

今度は、回転させた回転軸を元に戻す変換です。
回転の変換の逆行列は、行列各要素の余因子の行と列を入れ替えたものを行列式で割ったもので、
行列式は、(cosψ)^2+(sinψ)^2=1 なので、逆行列は
「 cosψ      sinψ        0  
-sinψ・cosφ  cosψ・cosφ   sinφ
sinψ・sinφ   -cosψ・sinφ  cosφ」

これを、(P_x, P_y, P_z)に施します。
「 cosψ      sinψ        0   「P_x =「P_x・cosψ+P_y・sinψ
-sinψ・cosφ  cosψ・cosφ   sinφ  P_y   -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
sinψ・sinφ   -cosψ・sinφ  cosφ」 P_z」  P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ」

結局、θ回転後のP点の座標は、
x座標 : P_x・cosψ+P_y・sinψ
y座標 : -P_x・sinψ・cosφ+P_y・cosψ・cosφ+P_z・sinφ
z座標 : P_x・sinψ・sinφ-P_y・cosψ・sinφ+P_z・cosφ
となります。

ここで、置き換えた変数を順次、元に戻します。
P_x、P_y、P_z を Px”、Py”、Pz” に、
Px”、Py”、Pz” を Px’、Py’、Pz’ に、
最後に、平行移動を戻して Px’、Py’、Pz’ を Px、Py、Pz に直します。

先ず、中心点(Sx,Sy,Sz)が原点にくるよう全体を平行移動させます。
(一番最後に元に戻します)
始点(Px,Py,Pz)は、(Px-Sx,Py-Sy,Pz-Sz)に移ります。この座標を(Px',Py',Pz')とします。

次に、回転軸ベクトル(Ax Ay Az)を回転させ、x軸に合致させます。それには二回の
回転変換が必要です。
最初に、ベクトル(Ax Ay Az)と、x軸方向単位ベクトル(1 0 0)のなす平面の法線ベクトルが
z軸に合うよう、x軸を回転させます(その角度をφとします)。
すると、回転軸ベクトルはx-y平面上に乗るので、それがx軸...続きを読む

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Q3次元で回転させた座標値の計算方法

点(Ax、Ay、Az)を3次元空間にある、点(Bx、By、Bz)から、点(Cx、Cy、Cz)に向かう直線を軸に任意の角度で回転させたときの、点(A’x、A’y、A’z)の座標値の計算方法を教えてください。ただし自分の数学レベルは中学生並でベクトルが少しだけ理解できるていどです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

オイラー角による座標変換だと
任意の方向ベクトルを軸にした回転はややこしくなるので
四元数を使った座標変換がオススメです

参考URLを見て頂ければここに書くことはないと思います
(ただ私の知識がないだけですが...)

また、任意の点を中心に回転させたいなら
ゲタを履かせて座標変換してから、ゲタを取ればいいだけなので簡単にできるはずです

ゲタを履かせるの意味がわからないかも知れませんが
Aを中心にBを回転させるとすると
BからAを引き、平行移動させてAを原点に持ってきて
同じく平行移動させた(B-A)を回転させ、その結果(B-A)'にAを足してもう一度平行移動させて
ってことです、解るかな?
B → (B-A) → (B-A)' → (B-A)'+A

参考URL:http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/quaternion.html

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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