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世の中には○進数というものがいろいろありますが、
理論的に何進数がベストなんでしょうか?
計算機にとっては2進数なんでしょうが、人間にとって
という点でお願いします。

A 回答 (11件中1~10件)

>>#6の補足


12進数でA個を3等分すると(12進数の表現で)3.4個になって割りきれまっせ。
そのへんが便利。
割りきれるというか、.33333……のような半端にならないです。

もうだれも見ないと思いますが。。。
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人間の指が十本なので10進法が広く使われるようになったんだけど


最も効率的で経済的なのは2**n進法です
これはコンピュータも人間も同じです
人間の指が8本だったらもっと社会は豊かになっているはずだよ
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>数論的にはp進数(pは素数)ですね.量子力学が複素数無しにはやれないように,p進数無しで数論はやれません.



この説明ですと分かりにくいのでもう少し砕けて説明させて貰います。
どんな10進法の有理数もp進法に書き換えられますが、このときに、各桁数を数列と思うことにします。
そのとき、整数は有限数列ですが、有理数は無限になることがあります。
ただし、それは循環します。
10進法で分数を小数にすると循環小数になるのと同じです。
このとき、小数の列を無作為に選んで無理数(実数)を構成したように、先の数列でも同じようにして間を全て埋めるのです。
このとき出来た数の集合を「p進数体」といいます。
ここでは、収束の概念を上手く機能させるために距離の概念が変わっています。
「pで割り切れる回数が距離」と言う感じになっています。
よって、10進法の世界とは数の構造が異なります。
そのため、同じ問題でも全く違った素振りを見せることがあります。
そして、その作り方からp進数体は普通の有理数も持っているので、有理数に関する定理ならば、どこかのp進数体の中で証明してやれば有理数でも自動的に成り立つのです。

このことから「実数体(10進法)は太陽で、p進数体は夜空の星」と言う数学者もおり、そのこころは「全てが重要度の差こそあれ同様に光を放っているが、一番近い物にしか気付かなかった」でしょう。

というわけで、数学上では「全て等価」と見るのが一般的です。
(ただ、定理の証明に使われるのは2,3,5進数体が多い様です(^^;))
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stomachmanさんの仰るように、この質問は何においてベストかが重要で、これまでの回答は、それぞれの意味でベストであるように思います。



私の知る一つの結論を申しますと、”情報量”という観点でいうと3進数がよいことになります。
例えば、2進数は(0,1)で表されるのですから、演算規則や文字の数という点では便利である。しかし、同じ数の10進数表現に比べると桁数が非常に長くなります。ここで、桁数と文字の多さ少なさを、表現の複雑さの指標とすると、以下の議論が成り立ちます。

ある数Nをr進数表現したときの桁数はp=log_r(N)となります。一つの桁が持つ情報量はrですから、これらの積prを最小にするようなr進数が最もシンプルに数を表すことができると言える。このとき、f=pr=r*log_r(N)を最小にするrはr=e=2.718...となり、3進数がベストということになります。

もちろん、この議論にも異論はありましょうが、少なくとも”この判断基準の下では”理論的にベストなのは3進数であると言えるでしょう。
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回答と補足のやりとりを見てますと、どうもこの質問、フェアじゃないですねえ。


「理論的に」とおっしゃいますが、たとえば数学においては「公理と推論規則を決めたときに演繹される定理の総体」が理論です。それ自体中立的な物であり、理論自体からベストかどうかという「価値判断」は何も出てきません。そうではなく、価値基準が先にあって、それに応じて理論が作られなくてはならないんです。
kazu-kunさんが「何をするのにベスト」なのかを明らかに指定しない以上、その満足な説明も在ろう筈がないと思いますが、いかがでしょうか?
多くの回答者の仰っていることはそれぞれ誠に妥当な説だと思いますよ。
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補足の回答です。



12や16で都合がいいというのは2や3で割れると計算がしやすいということです。

具体的な例を挙げると、
10進法では、きりのいい数字で10個ケーキがありました。そこに3人の子供がいます。どうやって分けよう?となります。
ですから実際にはそういう物を取り扱う時にはダースといって12個を1単位にします。
今回の場合はそれを普遍的な単位としたら便利じゃないのかな?と言ったのですよ。

指の話は私も今でも使いますよ。
アタマ悪いので、モノを数えるときで総枚数と目的もモノの枚数をチェックするときに、総枚数をアタマで唱えながらもく目的のモノの枚数のチェックを手で数えます。
このように2種類の数を数えるときに指で数えるのはやはり10進法が便利です。

ただし二十○か三十○かを忘れがちですが。。。(バカ丸出し)

この回答への補足

この例の場合なんですが、
12進数だとA個のケーキを3人でってことになりますが、
結局割り切れないので何進数でも同じような気がするのですが・・・。
X進数できりのいい数の時にある素数で割り切れる確率が高いと、
何かメリットがあるのでしょうか?

補足日時:2001/01/09 00:20
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数論的にはp進数(pは素数)ですね.量子力学が複素数無しにはやれないように,p進数無しで数論はやれません.


次元が低い世界がトポロジー的に非常にやっかいなことから,10進数前後というのは理論的に妥当だと思います.

この回答への補足

すいませんっ。専門的すぎて分かりませんでした。
どのような理論によるのでしょうか?

補足日時:2001/01/08 23:51
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皆さん言われるように,慣れの問題と指の数の問題のように思います.



角度は1周が 360 度ですね.
通貨も,江戸時代は1両=4分,1分=4朱,
の4進法でした.
イギリスも 1971 年(だったと思う)までは,
1ポンド=20 シリング,1シリング=12 ペンス,
という 20 進法と 12 進法の混ざった仕組みでした.
これはさすがに不便なので今のようになったのでしょうかね.
12 個で1ダース,12 ダースで1グロス,というのもあるし.

特定の問題を扱うときに,
○進法が便利だということはもちろんあります.
例えば,碁の盤面の記述するんだったら,
黒,白,空いている,の3状態ですから,3進法が便利です.

TCM さんの書かれているように,
n進法のnを大きくすると,たくさん記号が必要ですよね.
16進法だと0~9では足りないから,A,B,C,.. を使っているのは
ご存知の通り.
あと,九九(の類)が増えちゃいますね.
n^2 個必要です.
0 と 1 のところは自明ですから,(n-2)^2 個ですかね.
一方,あまりnを小さくすると桁数が増えますね.

回答になっているでしょうか.

この回答への補足

時間でもそうですが、角度、通貨など特定の分野に限定すればあるX進法が便利なのかもしれません。
これは、その概念の中で行われる演算が限られるからだと思います。
記号の数と桁の問題、暗記の問題(マジックナンバーとか関係あるのかな?)というのはなんとなく分かりますが、
理論的にはどうなんでしょう?
また、指の数×手の数がX本の宇宙人にとっては
本当にX進数がベストになるんでしょうかねっ?

補足日時:2001/01/08 23:53
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まずはX進法であることが重要です。

昔のヨーロッパのような12進法と60進法と10進法の混ぜ合わせ、みたいな数体系が一番不便。
 次に、足し算・かけ算を憶えられるためには、あんまりXが大きいのでは困る。12進法は2, 3, 4, 6で割れるのでなかなか良いと思いますが、指が足りないですね。6進法なんて案外良いかも。

この回答への補足

「2, 3, 4, 6で割れるのでなかなか良い」というのはどういう意味なんでしょうか?何を割るのかがよく分からないのですが、割り切れないと不都合があるのでしょうか?

補足日時:2001/01/08 23:39
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う~ん、どうなんでしょう?


私は16進法あたりがよいのでは?と思います。
2で割ると1まで割り切れますし。でも3では割れないしなぁ。
やっぱり人間にとっては手の指の10が一番理解しやすいので10進法がベストかな?

この回答への補足

「2で割ると1まで割り切れますし」というのはどういう意味なんでしょうか?
また、手の指が10といいますが、実際、計算する時、手の指を使いますか?あまり関係ない気がするのですが。確かに理解するには、手を使うと分かりやすいかもしれませんが。

補足日時:2001/01/08 23:47
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