凹多角形

外角を2π-内角として考えるんでなく4π-内角としたら
次のことは凸n角形だけでなく凹n角形でも成立ちますか?
1. 内角の和=2π(n-2)
2. 外角の和=2π(n+2)

また凹n等辺n角形の内角はどのようになっているでしょうか?

No.4 回答者： aiueo95240 回答日時： 2006/12/02 12:21

一般化するには、ガウス写像を考えればいいと思います。

No.3 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/12/01 18:12

【内角の和】

凸でも凹でも対角線の引き方で必ずn-2個の三角形に分割できますから
内角度和は(n-2)πです。
仮に【凹←この形】の左下隅から←周りにP1,P2…P8として、
P1-P5, P1-P6, P2-P5, P3-P5, P6-P8と対角線を引けば6個の三角形になりますよね。

【外角の和】
あまり自信はないのですが、
外角を多角形の辺を延長させた線分と次の辺との成す角と考えるのではなく
延長させた線分を次の辺に重ねるための回転角の和と考えれば常に2π
ということになるのではないでしょうか。(但し外角θは-π<θ<πとする)

内角のときと同様に【凹←この形】の左下隅から←周りにP1,P2…P8としたとき
P1,P2,P3,P4,P7,P8の6点での外角はπ/2、P5,P6の2点での外角は-π/2
6*π/2-2*π/2=2π

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/12/01 17:51

そもそも内角の和って π(n-2) だよなぁ....

No.1 回答者： noname#22058 回答日時： 2006/12/01 17:35

>4π-内角

4πラジアン＝720度です。
２周することに何か意味はありますか？

>凹n等辺n角形

どんな図形でしょうか？イメージがわきません。

この回答へのお礼

ありがとうございます.
>4π-内角
4πラジアン＝720度です。
２周することに何か意味はありますか？
質問で間違えました
2π→π に修正します.

>凹n等辺n角形
どんな図形でしょうか？イメージがわきません。
一例としては星型のような図形です.
私もこれ以外にどんなものがあるかはイメージできてません.

お礼日時：2006/12/01 20:13