分布定数回路について

ただ今回路について勉強しています。大学3年生です。

分布定数線路というのは波長に対して回路長が無視できない、つまりは同じ線路上ではあるが場所によって位相が違うため電圧が一定でない、ということは理解できました。しかしなぜ直列コイルと並列コンデンサで等価的に表すことができるのかわかりません。
うまく表現することができませんが、今はマクロにみると等価であるがミクロにみると等価ではないのではないかと思っています。例えばコイルは位相を90°ずらしますが現実には10°だけずれている点も存在します。曖昧にしか思っていなくうまく表現することもできません。

アドバイスでもいいのでなにか思うことがあったらお願いします。

No.11 ベストアンサー 回答者： matchaman 回答日時： 2007/01/04 11:54

＃９の補足に回答します。

補足内容の２つの表現はどちらも同じです。しかし舌足らずな表現だと思います。
・波長が線路長に対して無視できない
・長い線路になると配線のLと配線間のCが無視できない
よく考えると上記２つの表現はどちらも波長が「線路と比べて」そこそこ短くなっていることを示すもので、同じです。本の表現をまとめて言うと「波長が短いと（つまり線路が長いと）線路のＬＣが無視出来ない」ということです。

集中定数と分布定数の違いを考慮して、正確に説明するなら以下のようになります。
「波長が短いと（つまり線路が長いと）線路のＬＣが無視出来ない。しかし線路のＬＣを集中定数で表そうとすると誤差があるので分布定数で表す」ということです。誤差については以下に説明します。

波長が短ければＬＣを無視出来ないのは集中定数も分布定数も同じです。波長が長ければ集中定数も分布定数もＬＣを無視出来ます。ここまでは集中も分布も同じです。じゃあ何が違うのか？周波数範囲が違います。線路を扱う場合、集中定数は所詮は近似なのです。

集中定数から分布定数への拡張：
線路を集中定数で表そうとすると、例えばインダクタ２個を直列接続し、インダクタ同士の接続点とグランドの間にコンデンサを接続したいわゆるＴ形回路があります。ＬとＣの値をうまく選び線路と近似して使用出来ます。しかし使用可能な周波数の範囲は狭く、広い範囲で使おうとすると誤差が大きくなります。高い低いではなくて広い狭いです、誤解なきよう。波長が短くＬやＣが無視出来なくても、ＬＣをきちんと選べば狭い周波数範囲内なら集中定数でもよい近似が可能なのです。繰り返しますが「狭ければ」ですが。ＬとＣの段数を増やせば、もっと広い周波数範囲でも使えます。しかしやはり限度はあります。じゃあ無限の段数で表せばどうだ？これなら可能です。無限の段数の表現＝単位長さあたりのＬＣですよね？分布定数として単位長さあたりのＬＣで表せば誤差の問題は無くなります。これが分布定数回路の利点というか特徴です。

この回答への補足

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
なぜこのような疑問があったのかというと、同軸ケーブルではなく漏れのない理想的な心線のみの裸線路に入射させたとすると容量は存在しないのでCは考えないが、実際には心線の位置によって位相がずれているということが起こりえると思ったからです。ｖ＝V1exp{jω√(LC)x}+V2exp{-jω√(LC)x}においてC→0とすると位相のずれはなくなります。
これは心線中で波長の長さが変わることなどで説明がつくのでしょうか。つまり、裸線路では高周波を入力しても波長が長くなり位置によって位相のずれはなくなるということでいいのでしょうか。このあたり（波長短縮率や電磁波の話）はまだ不勉強で詳しい話は理解していないのですが、もしお分かりでしたらお聞かせください。

補足日時：2007/01/04 15:10

No.15 回答者： matchaman 回答日時： 2007/01/06 09:05

C→０の裸導線、グランドラインは無限遠の彼方、等価回路上はＬだけになりますので、入り口から見たインピーダンスは非常に大きくなるのではないかと思います。

おそらく出力へ信号を伝えないでしょう。導線だけの理論式とかはあまりやったことがないので推測ですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど、そういう考え方もできますね。裸線路やTEM波などについてもっと勉強してみたいと思います。

最後までありがとうございました。

お礼日時：2007/01/06 18:31

No.14 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/05 08:48

>どのようにしたらそのような深い知識を身につけることができるのでしょうか。

>教科書をまだそこまで読み込めていないということなんでしょうか。

分布定数ラインを理解するには、やはり電磁波の初歩(平面波 : TEM モード)の復習が要りそうですね。
平面波はバーチャル・リアリティ(現実にはあり得ない)ですが、取り扱いやすく第一近似として役立ちます。

教科書を一読したら自分で結論の式を導いてみるとよいでしょう。
例えば、ラインの入出力端の電圧・電流についての式
　　V1=cosθ*V2+jW*sinθ*I2
　　I1=j(sinθ/W)*V2+cosθ*I2
まで自力でたどってみるわけです。

出力端を抵抗Rで終端すれば V2=R*I2 が成立ちますから、
　　V1={cosθ+j(W/R)*sinθ}*V2
となります。前に提示した式はこれでした。(このままの式は、教科書に出てないかも知れません)

こういうことは実際に利用する立場に立たないと身に付かないことですが、せっかく習得しつつあるのです
からご自分にあった攻め方を見つけてください。
ご質問を拝見すると問題意識の高そうな方なので、解決能力アップすれば鬼に金棒です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

教科書などを読んでいると疑問点はたくさん出てくるのですがそれを解決するのがなかなかうまくいかなくて…。しかし結局はひとつひとつ解決していくしかないんでしょうね。

最後まで疑問に答えていただきありがとうございました。

お礼日時：2007/01/06 17:55

No.13 回答者： matchaman 回答日時： 2007/01/04 21:59

・・・です（笑）

冗談は置いといて、裸導線の場合なぜ波長が長くなると考えたのですか？

この回答への補足

お恥ずかしいもので根拠はまったくないのですがC→0を考えたとき波長が長くなることを考えれば矛盾がなくなると思ったもので。波長短縮率という言葉があり波長が長くなるというのは確かにおかしいとは思ったのですが。

補足日時：2007/01/04 23:16

No.12 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/04 19:06

>ｖ＝V1exp{jω√(LC)x}+V2exp{-jω√ (LC)x}においてC→0とすると位相のずれはなくなります。

>これは心線中で波長の長さが変わることなどで説明がつくのでしょうか。つまり、裸線路では高周波を入力
>しても波長が長くなり位置によって位相のずれはなくなるということでいいのでしょうか。

(余計な口出しになりますが、しばしのご辛抱を)

数式上なら勝手に C→0 を想定できますが、物理的には
　　1/SQRT(LC) = u (線路上での信号伝搬速度)
が成立しますから、C を減少するのは限界があります。(実際、裸線でもグラウンドに対して非零の容量をもっており、
信号伝搬速度は光速を超えることができない)
要するに、C はゼロにできないのです。

したがって「裸線路では高周波を入力しても波長が長くなり位置によって位相のずれはなくなる」ことはあり得ません。

この回答への補足

うーん、伝搬速度がLCと関係があり裸線でも容量が存在するんですね。ありがとうございました。

ほんとに最後にお聞きしたいですがどのようにしたらそのような深い知識を身につけることができるのでしょうか。教科書をまだそこまで読み込めていないということなんでしょうか。今の僕のレベルだと今までの話を教科書から理解するのは不可能に近いように思えてしまいます。

補足日時：2007/01/04 22:59

No.10 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/04 08:35

>..... Vin={cosθ+j(W/R)sinθ}*Voutと言う式はどこから求めたものでしょうか .....

(話を手短かにしようと、はしょったのは逆効果でした)
ラインの出力端を抵抗Rで終端してあるという条件で、入力端に印加する電圧Vinと出力電圧Voutとの関係を示す
ものです。ライン関係の教科書なら必記の式なので、照合してみてください。θ,W は下注参照。

第一近似は次のようになります。
(L*l=Lt, C*l=Ct とおく。つまり、長さl のLとC)
　Vin≒{(1-θ^2/2)+j(W/R)θ}*Vout={(1-ω^2*Lt*Ct/2)+j(ωLt/R)}*Vout
実部にある 1/2 という係数が集中定数との違いです。
両者の近似をしようとするとき付いてまわる違いで、取り除けません。お試しください。
--------------------------------------
　θ=ω*SQRT(L*C)*l　　　(l は線路長)
　W=SQRT(L/C)

この回答へのお礼

自分の教科書を確認したのですがそのような式は見当たりませんでした。けれど要は集中定数では完全な近似はできないということですよね。ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/04 15:50

No.9 回答者： matchaman 回答日時： 2007/01/01 13:00

＃７の補足に回答します。

線路は集中定数LCで表すことが出来ないため、分布定数（単位長さあたりのLC)で表します。波長の長短は関係ありません。波長の話については分布定数線路でも集中定数でも同じで、波長が長ければ線路長は無視出来ます。波長が短ければ無視出来ません。集中定数でも同じです。

分布定数回路のみ考えた場合、最初に分布定数回路の線路やらグランド間容量等の構造が先か、それとも単位長さあたりのLCが先かどちらだ？という疑問に対しては、おそらく前者が先だろうと思います。まず物理的な構造があって次にその等価回路があるべきだからです。勉強を進めると、導波管なるものが出て来るでしょう。導波管には芯線が存在しません。そうなるとLCの等価回路も使えませんので、別な考え方をします。そういう構造にも対応することを考えると、最初に構造ありきです。等価回路はその後です。

この回答への補足

言葉足らずでごめんなさい。お聞きしたいのは構造が先か、単位長さあたりのLCが先かと言う話ではありません。

集中定数回路から分布定数線路という考え方に拡張するのはなぜかということです。本を読んでいると波長が線路長に対して無視できないから、という記述と長い線路になると配線のLと配線間のCが無視できないから、という二つの説明があるように思います。これらはどっちが正しいのか、それとも同じ内容を表しているのかどうかわかりません。

補足日時：2007/01/03 16:44

No.8 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/01 08:51

>... 両者の伝達比が異なるので等価的に表せてないのではないかということです。

>考えてみたのですが伝達比が異なるのは当然と言うのは一組のLCしか考えてないからでしょうか。

近似という観点から両者の回路式をくらべてみましょう。

(無損失)ラインの
　Vin={cosθ+j(W/R)sinθ}*Vout
において、θはωに比例する量(θ=kω)だから
　cosθ=1-(kω)^2/2+ .....
　sinθ=kω-.....

2次までで打ち切れば「一組のLC」の式
　Vin={(1-ω^2*LC)+j(ωL/R)}*Vout
と同型になります。

LCの個数を増やしていけば、近似度(次数)を増やせるでしょう。実際にも、そのようなLC回路がいくつか考案されてます。
(最大の差異は、無損失ラインの周波数特性が周期関数であること)

この回答への補足

すいません、計算してみたのですがどうしても答えが合わないので再度お聞きします。

178tallさんのいうVin={cosθ+j(W/R)sinθ}*Voutと言う式はどこから求めたものでしょうか。ここでの電気角の定義がわかりません。また、この式に
　cosθ=1-(kω)^2/2+ .....
　sinθ=kω-.....
をk=√LCとして二次で打ち切り、近似しても
　Vin={(1-ω^2*LC/2)+j(ωL/R)}*Vout
となり「一組のLC」の式Vin={(1-ω^2*LC)+j(ωL/R)}*Voutと同型になりません。また、matchamanさんのANo.7のｖ＝V1exp{jω√(LC)x}+V2exp{-jω√(LC)x}
の式の入射波だけを考えたｖ＝V1exp{jω√(LC)x}という式とも矛盾しているように思うのですが。

補足日時：2007/01/03 16:10

No.7 回答者： matchaman 回答日時： 2006/12/29 00:16

＃２です。

補足します。

線路をLCで表現出来る理由：
実際の線路を見たことはありますか？フィーダー線でもいいですし、同軸ケーブルでもいいです。必ず２本がセットになってますね？フィーダー線なら導線２本セットですし、同軸ケーブルなら芯線とシールドのセットです。
線路ですから導線として長さがあります。長さ分をＬで表現するのです。さらに、その長さの導線があるのなら、導線とグランドの間には必ず容量がある筈ですね？それをＣで表現しています。線路の構造を考えるとＬＣで表現出来るのは当然です。もともとの式を立てる時のＬとかＣは線路の構造を見て出発点としているのです。物理学ですから。線路は均質なので、ＬやＣは単位長さあたりの量で表現されます、そこは判りますよね。

９０°と１０°の違い：
私の説明も悪かったのですが、位相差９０°というのはコイル両端の電圧とコイルを流れる電流の位相差が９０°ということです。線路の１０°というのは、線路の入り口の芯線とグランド間電圧と、（例えば）３ｍ地点での芯線とグランド間電圧の位相差が１０°ということです。位相は線路の場所に従ってどんどん変わります。０°から始まって９０→１８０→３６０と、変化しつつ信号を伝えて行きます。抵抗成分が無ければ、電圧も電流も振幅は変化しません。位相のみ変わります。

１０°分の位相が変わる例：
＃６の回答で２つ目の参考ＵＲＬを見て下さい。おそらく授業でやった微分方程式は式１－７と１－８でしょう。この式の一般解がすぐ下にあります。位相の話ですので伝播定数γに注目します。簡単のため抵抗分Ｒ＝Ｇ＝０とするとγ＝ｊω√（ＬＣ）なので、ｖ＝V1exp{jω√(LC)x}+V2exp{-jω√(LC)x}

位相差１０°というのはω√(LC)x=10°=2π/360*10(rad)を満たすL,C,ω,xの組み合わせということです。xつまり座標によって変わるので、x=0とある値x1との差を考えればいいでしょう。

・・・というあたりの説明でどうでしょうか？

この回答への補足

なるほど、位相差90°というのは電圧と電流のことなんですね。その辺がよく理解できていませんでした。

最後にお聞きしたいです。

＞線路ですから導線として長さがあります。長さ分をＬで表現するのです。さらに、その長さの導線があるのなら、導線とグランドの間には必ず容量がある筈ですね？それをＣで表現しています。

とあるのですが、線路に対して波長が短いので分布定数線路(LC)という考え方を導入するという説明は間違っていますか。それとも波長が短いためにLを考えグランドと導線の間に容量が存在するためにCを考える、という説明のほうが正確なのでしょうか。

補足日時：2006/12/31 21:35

No.6 回答者： gura_ 回答日時： 2006/12/27 22:02

#3です。

まだお悩みのようですので、コメントします。

　失礼ながら、根本的な理解不足が、見受けられます。
　先の問題を汗を流して解いていけば、自ずと分かることだと思いますが、それをやらないために、疑問の穴から抜け出せないのでしょう。

>LCだけだとやはり90°か-90°しかずれない気がするのです。この考え方は間違っていますか？

　少なくとも、あなたの理解は、言葉に引っ張られ過ぎで、正確ではないようです。
　正確には、『LCに流れる電流と素子両端子間にかかる電圧については、90°もしくは-90°の位相差が生ずる』とでもいうのでしょう。もちろん、端子間電圧値は、素子値に応じて異なりますが・・・。

>理想的な分布定数回路では抵抗を無視しますよね・・・
　もちろん理想的な分布定数回路の話をしています。L=1μH/m、C=10pF/m のロスレスケーブルです。電源の内部抵抗および負荷抵抗は、線路の抵抗分ではありません。

　この理解がはっきりしていれば、あとは地道に数値計算をしてみれば、問題が自ずと解けていくと思います。
>x=1mの位置では位相が4πずれているので・・・
などという話にはならはずです。

　分布定数回路で考えるのは、電波の伝播時間を考えなければならない様な「長い」線路で結んだときです。何に対して長いかというと、「電波の波長」に対してです。そのため、ケーブル入力端に印加した電圧は、伝播時間分遅れて初めて出力端に現れるということです。

　ちなみに、1GHzに対して、1mのケーブルは波長の3倍以上もありますから、ケーブルの両端では、3x2π 以上 の遅延が発生します。等価回路で表示するには、波長よりも十分短い部分に分割して(少なくとも何十組かのLCで)、表示する必要があります。
　例えば、1μH/mのケーブルなら、1nH/mmで分割して、1000組のLCに分解すれば、より等価な回路表現になるとなると言うことです。その各接続点での電圧電流値が、1mm毎の地点のそれになるということです。↓
http://www1.sphere.ne.jp/i-lab/ilab/tr/tr_s/tr_s …
http://www.mogami.com/paper/tline/tline-01.html
http://www.mogami-wire.co.jp/paper/sparameter/sp …
　
　蛇足ですが、物理では、具体的な数値を当てはめないと、誤解を招きます。言葉に頼り過ぎると誤解を起こします。
「分布定数回路」言ったときは、「波長と周波数の値に注意して回路を考えなさい」ということです。どのように反映されたかを見てみるのも理解を助けるでしょう。

参考URL：http://www1.sphere.ne.jp/i-lab/ilab/tr/tr_s/tr_s …

この回答への補足

ごめんなさい、4πというのは完全な勘違いでした。

補足日時：2006/12/31 21:32