図形問題

ある問題を解いたら、円周上の任意の3点A,B,Cを選んで三角形ABCの面積の最大値を求める問題に帰着しました。そこで、点D(-1,0)中心の単位円を考え、A(0,0)とし、点Dからの角度を変数として、面積をサイン・コサインで表し、変数２つの式のの最大値問題にしたんですけど、もっとかっこいい方法がある気がしてなりません。もし思いついたら、どうか御回答よろしくお願いします。（数３までの範囲で）

No.3 ベストアンサー 回答者： ttttaaanni 回答日時： 2007/01/02 00:27

（#２の方とかぶりますが、）

仮に、辺ＡＢを固定して底辺と考えると、
Ｃが一番高さが高くなる位置＝最大面積　なので、
ＡＣ＝ＢＣの二等辺三角形でなくてはならない。

（ここで、Ａ，Ｂ，Ｃの対称性を考えて　
　　　　正三角形が最大面積となる
　でも大学数学ならいいですが　ちょっと不親切なので）

次に、
ＡＣ＝ＢＣの二等辺三角形を前提条件として　∠ＡＣＢ＝θ　として、
面積Ｓをθの関数で表して、最大値となるθを求めてはどうですか？

No.2 回答者： rtz 回答日時： 2007/01/01 20:13

まぁDを(0,0)にした方が全てにおいて簡単な気がしますが。

D(-1,0)、A(0,0)として続けます。
Bを円周上の適当な点としたとき、
△ABCが最大になるためには、ABを底辺としたときの高さが最大になる必要がある。
この高さはABと、Cを通りABに平行な直線との距離であるから、
これを最大にするにはABに平行な直線が円の接線となり、Cが接点となるとき。

とこうして∠ADC＝∠BDCを証明して、
同様にCを適当な点にして∠ADB＝∠BDCを証明して
∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝120°から正三角形へ持っていけば一応証明できるかと。

素直に三角関数のほうがいいかもしれません。

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2007/01/01 20:02

凸関数の考え方を使えば、そんなに難しい問題じゃないです。

原点Ｏを中心とする単位円の周上に3点Ａ(cosα、sinα)、Ｂ(cosβ、sinβ)、Ｃ(cosγ、sinγ)をとる。
但し、0＜α＜π、0＜β＜π、0＜γ＜π。
三角形ＡＢＣの面積をＳとすると、2Ｓ＝sinα＋sinβ＋sinγとなる。‥‥(1)
ここで、y＝sinxは0＜x＜πの範囲では上に凸であるから、(1/3){sinα＋sinβ＋sinγ}≦sin(α＋β＋γ)/3が成立する。‥‥(2)
α＋β＋γ＝πから、(1)において　Ｓ≦3√3/2　等号成立は、α＝β＝γ＝π/3　即ち正三角形のとき。

(2)の絶対不等式についての成立は、高校参考書に載ってると思いますが。