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例えば3つのものから、5つのものを組み合わせでとることに
相当するような、

二項係数 nCrについて、r>n の 場合を考えるような
拡張はあるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

ガンマ関数をご存知なら話が早い.



(1)  nCr = n!/r!(n-r)!
ですから,一番普通の拡張は階乗をガンマ関数で表現した
(2)  Γ(n+1)/Γ(r+1)Γ(n-r+1)
でしょう.
これで,すべての複素数 n,r に対して拡張できます.

質問の例にある n=3,r=5 ですと,
(3)  Γ(4)/Γ(6)Γ(-1)
ですが,
(4)  1/Γ(-m)=0   (m が非負の整数の時)
が知られています.
したがって,(3)の値はゼロです.

また,(2)(4)から r が負の整数の時はやはり(3)の値がゼロになることも分かります.
No.2 の echoes さんの
> そんな場合はありえないから0とするんじゃなかったっけ?
とも話が合っていますね.
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
なるほど、すなおな拡張ですね。
あまり数学をきちんと勉強しなかった私には記憶がありませんが
良い示唆を与えていただけましたので、本をあたってみます。

実は算術的な問題を考えていて
0以外とするケースがあるのだろうか? 
とちょっと気になったので質問をしたのでした。
その問題自体の答えとしては
「場合分け」をすれば解答としては問題ないのですが、
質問したようなケースをゼロにできるなら、場合分けが不要、
というような類の問題でした。

どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/05/09 09:04

たとえば、「3つの珠の入った袋から5つの珠をとりだすとき」、に相当するような状況を思い浮かべろ、ということになるでしょうか?

この回答への補足

とりあえず私の疑問はNo.3で氷解していますが
閉じずに申し訳ありません。

例えば5次元、6次元の世界のように
「思い浮かべ」ようはありませんが、
抽象的な拡張があるかとの質問でした。

補足日時:2002/05/09 09:05
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 そんな場合はありえないから0とするんじゃなかったっけ?高校の先生が3年ほど前にそんなことを言っていたような。

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3つのものから、重複を許して5つをとる組み合わせはある。


「重複組み合わせ」といって、3H5というふうにあらわす。

これを説明するのは非常に簡単なのだが、ひょっとすると、「大学への数学シリーズ」で勉強するつもりなら、解法の探求か、場合の数それだけを扱っている参考書を購入して勉強されたらどうか。
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この回答へのお礼

さっそくの回答ありがとうございます。

ただ、知りたいのは、nCrを純粋に拡張したような
考え方があるか、ということです。

!とガンマ関数のような・・・

お礼日時:2002/05/04 16:00

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