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40歳台のサラリーマンです。先日、高校生の息子と悩んでいたベクトルの質問をさせてもらったところ多くの的確なアドバイスをいただき助かりました。ありがとうございました。もうひとつ別の問題についてアドバイスをどうかお願いいたします。
(問題)
10m/sで鉛直上昇中の気球から小石A・Bを同時に投げ出した。気球に対する速さはいづれも16m/sであるが、気球から見てAは上方に、Bは水平に飛び出していった。そして10秒後にAは地面に落下した。重力加速度は10m/毎秒毎秒とし、また空気の抵抗は無視し、小石は気球には当たらないとする。
 (1)小石を投げ出したときの気球の高さは何mか
 (2)小石Bは地面から何mの高さまで達するか
 (3)小石Bの落下点は小石Aの落下点から何m離れているか
という問題です。以下息子と二人で考えた結果です。
(1)鉛直下方を正とし、h=初速×時間+1/2×g×時間の2乗から、
 -26×10+1/2×10×100=240m
(2)Bが飛び出すときの、上方向への速さは気球の上昇速度である10m/s、
 水平方向へは16m/sであるから、三平方の定理によりBの初速は斜め上 方向に2√89m/s、一方、Bが最高点に達したときの速度は0だから  vの2乗 - 初速の2乗 = 2×g×hの式から 0-356=2×-10 ×hよりh=17.8m、(1)よりBを投げ出した高さが240mだからBの最高 点は17.8+240=257.8m
(3)は全くわかりません。
(1)(2)(3)それぞれどう考え、正答は何なのかどうぞ教えてください。 

A 回答 (3件)

1: 考え方、答え どちらもOKですね!



2:
この問いの場合は、垂直方向の速さだけ考えてください。<Bの初速は斜め上 方向に2√89m/s>のようにむずかしく考えない方がいいです。垂直方向、水平方向、別々に考えます。

小石Bは上向きに10m/sで上がり始めましたので(地面から見てです)、

<vの2乗 - 初速の2乗 = 2×g×hの式から 0-356=2×-10 ×hよりh=17.8m>

ではなく、v=10で計算してください。すると、h=5となります。

こたえ 240+5=245m 


3:これは、まず、Bが地面に落ちるまでの時間を求めます。Bは上向きに10の速さで、飛び出しています。(気球が10で上昇してますので)

240=-10×t+1/2×10×t×t

tについての2次方程式ですが、これをとくと

t=8となります。

つまり、8秒後に地面に着きます。

Bはその間、ずーっと水平方向に16m/sに進んでいます。これがポイント、

ですから、Bは16×8=128m離れたところに着地します。

こたえ 128m離れている。


ところで、

<<一方、Bが最高点に達したときの速度は0だから>>と考えられたようですね。この考えは非常に大切な考え方で、こういう問題を解くときのポイントです。ただ、この場合は、水平方向の速さは0ではありませんので、斜めの初速度(2√89)が0になったわけではないのです。
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この回答へのお礼

急な出張が入りまして、お礼が遅れましたことをまずお詫びします。そして丁寧な解説を本当にありがとうございました。
鉛直方向、水平方向それぞれ別個に考えなければという発想がありませんでした。単純に考えればいいんですね。
鉛直方向、水平方向それぞれに考えれば3の問題の考え方も理解できました。ありがとうございました。

お礼日時:2007/01/25 23:20

 #1です。


 丁寧なお礼の言葉、ありがとうございます。

>ところでひとつだけ解らないのは、2の問題の解説で鉛直方向への初速10m/s 加速度-10m/s^2だから最高点yB=10t-5t^2+240=5t(2-t)+240よりt=1秒のときに最高点となることは解りましたが、t=1秒でyB=245mとなるのではないでしょうか?
気球が245mの高さの時点で水平方向に投げ出したのに最高点が235m??

 ご指摘の通り、計算を間違っていました。済みません。
 お詫びして訂正いたします。

>  yB=-1/2 gt^2 + V0t + h = -5t^2 + 10t + 240
>    = -5(t-1)^2 + 235 ・・・・・・・・ ☆
  (正) = -5(t-1)^2 + 245 ・・・・・・・・ ☆

>したがって、yBの最大値は、t=1[s]のとき、235[m]であるので、小石Bの地面から最も高い高さは235[m]になる。
  (正)   yBの最大値は、t=1[s]のとき、245[m]であるので、小石Bの地面から最も高い高さは245[m]になる。

>よって、(答え)235[m]
  (正)     245 [m]
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この回答へのお礼

すっきりしました。
どうも有り難うございました。

お礼日時:2007/01/28 07:18

doradora04さんの考察を拝見しましたところ、座標系で混乱が見受けられましたので、先ずはきちっと座標をおくことから始めていきましょう((1)の答えは合っているようです)。



a)座標を設置
 気球は常に上昇し地面に対し相対運動を行っています。
 いま、問題は地面から見たときの答え(地面からの高さなど)を求めていますので、気球ではなく地面に対して座標を置くことにします。
 先ず、垂直方向には、地面からの高さを求める問題が多いので、上向きを+y、地面をy=0としたy軸をおくことにします。
 次に、水平方向ですが、(3)で小石Bの水平移動距離を求めることから、気球の真下をx=0、小石Bの投出し方向を+xとしたx軸をおくことにします。

b)文字をおく
 問題を解くに当って紛らわしい変数が出てくるので、ここで整理しておきます。
  h: 小石を投げ出したときの気球の高さ[m]
  VA: 小石Aの+y方向の初速(=10)[m/s]
  VB: 小石Bの+x方向の初速(=10)[m/s]
  V0: 気球の+y方向の上昇速度(=16)[m/s] 
  tA: 小石Aを投出してから地面に落下するまでに要した時間(=10)[s]
  tB: 小石Bを投出してから地面に落下するまでに要した時間[s]
  L: 小石Bの落下点から気球の真下までの距離[m]
  g: 重力加速度(=10)[m/s^2]

c)問題を解く
 これで準備ができましたので、(1)から順に解いていくことにします。
(1) 小石A、Bを投出した瞬間をt=0とすると、その時の小石Aの地面からの高さはh、初速は+VA+V0、加速度は-gの等価速度運動を行うので、t=tAで地面に落下することから、
  0=-1/2 g(tA)^2 +(VA+V0)tA + h
 ∴h=1/2 g(tA)^2 -(VA+V0)tA =500-260=240[m]
よって、(答え)240[m]

(2)小石Bの描く軌跡のy成分だけに注目し、それをyBとおくと、
t=0での小石Bの地面からの高さはh、初速は+V0、加速度は-g等価速度運動を行うので、
  yB=-1/2 gt^2 + V0t + h = -5t^2 + 10t + 240
    = -5(t-1)^2 + 235 ・・・・・・・・ ☆
したがって、yBの最大値は、t=1[s]のとき、235[m]であるので、小石Bの地面から最も高い高さは235[m]になる。
よって、(答え)235[m]
(初速に小石Bの初速度方向の速さをとってしまったことが異なります。)

(3)先ず、小石Bの落下時間tBを求める。
小石Bのy成分の軌跡の式☆から落下時間はyB=0としたときの式☆の正の解である。したがって、
  0= -5(t-1)^2 + 235 = -5(t-8)(t+6)
 ∴t=-6、+8
tBは正なので、tB=8 [s]である。

次に、小石Bの水平方向について考える。
t=0のとき、小石Bの水平成分は、x=0、初速+VBの等速直線運動を行うので、
  L =VB tB = 16×8 = 128[m]
一方、気球と小石Aは鉛直線上での運動に終始しているので、小石Aの落下地点は気球の真下である。
したがって、小石Aの落下点から小石Bの落下点までの距離はLそのものである。
よって、(答え)128[m]

((3)の問いは、小石Bの落下時間を求めてから、その時間内で水平に移動した距離を求める手順で解いていきます。)
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この回答へのお礼

急な出張が入りまして、お礼が送れた事をまずお詫びします。そして丁寧な解説をどうもありがとうございました。
座標軸をはっきりさせる、そして問題文中の数字の大きさや方向、変位などをはっきりさせることが重要だとわかりました。物理がよくわかる人ほどこうした相関関係の捉え方が迅速で正確なんでしょうね。
ところでひとつだけ解らないのは、2の問題の解説で鉛直方向への初速10m/s 加速度-10m/s^2だから最高点yB=10t-5t^2+240=5t(2-t)+240よりt=1秒のときに最高点となることは解りましたが、t=1秒でyB=245mとなるのではないでしょうか?
気球が245mの高さの時点で水平方向に投げ出したのに最高点が235m??

お礼日時:2007/01/25 23:53

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