整数論の乗法的関数

整数論の本で、von Mangoldtの関数
Λ(n)=logp（n=p^mの形のとき。p：素数、m:自然数）
=0（それ以外のとき）
が乗法的であるとあるのですが、なぜか分からないのです。
（整数論的関数f：N→Rが乗法的とは、互いに素な自然数
m、nに対してf(mn)=f(m)・f(n)が成り立つこと。）

たとえば、
Λ(p^m・q^n）=0、Λ(p^m)=logp、Λ(q^n)=logq
（p、qは異なる素数、m、nは自然数）
より、
Λ(p^m)・Λ(q^n)=logp・logq
で、
Λ(p^m・q^n）=Λ(p^m)・Λ(q^n)
とはならないのですが・・・

本では当然という感じで説明はなく、何か定義の
理解の仕方が間違っているのか、ネットで検索
したりしてみたのですがまだ分かりません。
教えて頂けるとありがたいのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： killer_7 回答日時： 2007/01/18 07:42

あきらかに乗法的でないでしょう．

「乗法的でない」の誤りだと思います．

一応参考URLを載せておきます（定義のすぐしたに乗法的でも加法的でもない旨の記述あり）．

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mangoldt_function

この回答へのお礼

誠にありがとうございます。
「von Mangoldt function」で調べれば分かりましたね。
黒川信重他著の「ゼータの世界」という本で、
「乗法的関数の重要例としてEulerの関数やvon Mangoldtの関数
がある。」
という記述があるのですが、von Mangoldtの関数は乗法的では
ないのですね。
ゼータ関数の勉強をしているのですが、参考URLでlogと
von Mangoldtの関数の関係など、大変興味深いことが分かり、
参考になりました。

お礼日時：2007/01/18 19:14