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半径Rで角速度ωで回転している球形の惑星で両極ではg、赤道では0.8gの有効重力加速度をとる時、有効重力加速度を天頂角θとgを使って表したいんですが、どうすればいいのでしょうか?
全く解らなくて困っています。どなたかお助けをお願いします。

A 回答 (4件)

2次元の極座標を使えば計算も楽だと思います.


(θの取り方は通常とは異なるので注意.)

動径方向の単位ベクトルを [r]
x, y 方向の単位ベクトルをそれぞれ [x], [y] とすると
重力のベクトル F は
 F = -mg[r] + m(Rsinθ)ω^2*[x]
となります.

あとは [r] をデカルト座標の単位ベクトル [x], [y] に変換して
θ=π/2 のときの条件から
 0.2g = Rω^2
となるので,これを戻せば一般式が求まります.
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忘れ物。



#1はまだ補正やってない
時間がないんです。^_^;

遠心力は、赤道線方向に向き、
重力は地球中心に向かうベクトルになるため一致しない。
これの補正。
(手でやって。)^^

それと、ms単位なんで、質量は1キロにした。

でも、
誤差は0.2以下だよん。^^
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簡単かと思ったけど、意外にややこしい問題ですね(もっとエレガントな解法があれば続けて回答してください)。


「有効重力加速度」をGoogleで調べたら4件にかHitしなかったのですが、以下の意味ですか?

惑星の中心に向かう重力成分でなく、その地点での重力の大きさそのもの。

Yes→参考URLの最初の図の赤い矢印が「有効重力加速度」ということですね。それからもう1つ。天頂角とは、図の北極(回る矢印のあるほう)を点N、惑星の中心を点O、3本の矢印の始点を点Pとしたとき、∠NOPのことですね?

Yes→半径Rの球形の惑星が角速度ωで回転しているとき、天頂角θの地点での赤い矢印の大きさを求めよというのがこの問題です。天頂角θの地点(P)での遠心力(図で「遠心力と書いてある矢印の大きさ)は m*R*sin(θ)*ω^2 です。mは物体の重さ(質量)です。これは分かりますか?

半径rで円運動したときの遠心力は m*r*ω^2 ですが、この r に相当するのが、図の点Pと地軸との距離( = R*sin(θ))ですから、点Pでの遠心力はm*R*cos(θ)*ω^2 となるわけです。

したがって、図の両極(θ=0,180度)ではsin(θ)=0なので、遠心力はゼロです。一方、赤道(θ=90度)での遠心力は、sin(90度)=1 ですので、遠心力はm*R*ω^2 です。両極での重力加速度が g で、赤道での重力加速度が 0.8g ですから、赤道での遠心力は m*1g - m*0.8g = m*0.2g です。つまり、m*R*ω^2 = m*0.2g → ω^2 = 0.2*g/R だということが分かります(これで ω が分かった)。

さて次に、点Pでの重力(図の赤い矢印)の大きさを求めることにします。図で引力と書かれている矢印の終点(矢印の先っぽ)を点Q、重力の矢印の終点を点Rとします。すると、∠PQR = 90度-θ となります。一方、∠QPR はまだ分からないので、この角度をφとします。すると、三角形PQRの内角の和は180度ですから、∠PRQ=180度-∠PQR-∠QPR = 180度-(90度-θ)-φ = 90度 + θ-φ となります。

三角形PQRの内角が分かったので、正弦定理を使えば、
PR/sin(∠PQR) = QR/sin(φ) = PQ/sin(∠PRQ) → PR/sin(90度-θ) = QR/sin(φ) = PQ/sin(90度 + θ-φ) --- (1)
という関係式が得られます。三角関数の加法定理を使えば、
sin(90度-θ) = sin(90度)*cos(θ) - cos(90度)*)*sin(θ) = cos(θ)
sin(90度 + θ-φ) = sin(90度)*cos(θ-φ) + cos(90度)*)*sin(θ-φ) = cos(θ-φ) = cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)
となります。したがって式(1)は
PR/cos(θ) = QR/sin(φ) = PQ/{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)} --- (2)
となります。PRとQR とPQは力の大きさで、PR = m*g'、QR = m*R*cos(θ)*ω^2、PQ = m*g ですが、ω^2 = 0.2*g/R ですから、QR = 0.2*m*g*cos(θ)です。したがって式(2)は
m*g'/cos(θ) = 0.2*m*g*cos(θ)/sin(φ) = m*g /{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)}
となりますが、mはどの項にもあるのでこれを消すと、
g'/cos(θ) = 0.2*g*cos(θ)/sin(φ) = g /{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)}
となります。この関係式から、φを消して、g'をgとθを使って表せば答にいきつきます(後はご自分で)。θは0~180度の範囲ですが、北半球(0≦θ≦90度)でも南半球(90度≦θ≦180度)でも、緯度(90度-θ)が同じなら、g'は同じですので、北半球だけ考えて、sin(θ)>0、cos(θ)>0として計算すれば良いと思います。

参考URL:http://www.s-yamaga.jp/nanimono/chikyu/juryoku-0 …
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この前作って回答したら、質問自体が削除されちったやつ。

^_^;

今、忙しいんです。
ごめんなさい。
ここからヒントを得て下さい。m(_ _;)m
両極Gからひーてますぅ。^^;

貼り付ければひまわりで作動します。

「緯度を入力して下さい。」と、尋ねる。
緯度は、それ。
「緯度は、{緯度}度です。」と、表示。
「 」を、表示。

緯度を、度からラジアン。
緯度は、それ。
緯度を、表示。

度数は、COS(緯度)
「コサインは、{度数}です。」を、表示。
「 」を、表示。

地球半径は、6378150

観測地半径は、地球半径*度数。
キロ変換は、観測地半径/1000
「観測地半径は、{観測地半径}(m)です。」を、表示。
「観測地半径は、{キロ変換}(km)です。」を、表示。
「 」を、表示。

’円周計算
円周は、(観測地半径*2)*3.14159265
「円周は、{円周}mです。」を、表示。
円周キロは、円周/1000
「円周は、{円周キロ}kmです。」を、表示。
「 」を、表示。

’速度計算
時間は、24*60*60
「1日は、{時間}秒です。」を、表示。
速度は、円周/時間
「速度は、{速度}(m/s)です。」を、表示。
時速は、(速度*3600)/1000
「時速は、{時速}(km/s)です。」を、表示。
「 」を、表示。

’遠心力計算。
遠心力は、(1*速度*速度)/観測地半径
「遠心力は、{遠心力}m/s^2です。」を、表示。
「 」を、表示。

’重力
重力は、9.83

’重力補正。
計算結果は、重力-遠心力
「計算結果は、{計算結果}m/s^2です。」を、表示。
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