有効重力加速度

半径Rで角速度ωで回転している球形の惑星で両極ではg、赤道では0.8gの有効重力加速度をとる時、有効重力加速度を天頂角θとgを使って表したいんですが、どうすればいいのでしょうか？
全く解らなくて困っています。どなたかお助けをお願いします。

No.4 回答者： ryn 回答日時： 2007/02/20 12:26

2次元の極座標を使えば計算も楽だと思います．

（θの取り方は通常とは異なるので注意．）

動径方向の単位ベクトルを [r]
x, y 方向の単位ベクトルをそれぞれ [x], [y] とすると
重力のベクトル F は
　F = -mg[r] + m(Rsinθ)ω^2*[x]
となります．

あとは [r] をデカルト座標の単位ベクトル [x], [y] に変換して
θ=π/2 のときの条件から
　0.2g = Rω^2
となるので，これを戻せば一般式が求まります．

No.3 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/02/19 23:05

忘れ物。

＃１はまだ補正やってない
時間がないんです。＾＿＾；

遠心力は、赤道線方向に向き、
重力は地球中心に向かうベクトルになるため一致しない。
これの補正。
（手でやって。）＾＾

それと、ｍｓ単位なんで、質量は１キロにした。

でも、
誤差は０．２以下だよん。＾＾

No.2 回答者： inara 回答日時： 2007/02/19 22:20

簡単かと思ったけど、意外にややこしい問題ですね（もっとエレガントな解法があれば続けて回答してください）。

「有効重力加速度」をGoogleで調べたら４件にかHitしなかったのですが、以下の意味ですか？

惑星の中心に向かう重力成分でなく、その地点での重力の大きさそのもの。

Yes→参考URLの最初の図の赤い矢印が「有効重力加速度」ということですね。それからもう１つ。天頂角とは、図の北極（回る矢印のあるほう）を点N、惑星の中心を点O、３本の矢印の始点を点Pとしたとき、∠NOPのことですね？

Yes→半径Rの球形の惑星が角速度ωで回転しているとき、天頂角θの地点での赤い矢印の大きさを求めよというのがこの問題です。天頂角θの地点(P)での遠心力(図で「遠心力と書いてある矢印の大きさ）は m*R*sin(θ)*ω^2 です。mは物体の重さ（質量）です。これは分かりますか？

半径rで円運動したときの遠心力は m*r*ω^2 ですが、この r に相当するのが、図の点Pと地軸との距離（ = R*sin(θ)）ですから、点Pでの遠心力はm*R*cos(θ)*ω^2 となるわけです。

したがって、図の両極（θ=0,180度）ではsin(θ)=0なので、遠心力はゼロです。一方、赤道（θ=90度）での遠心力は、sin(90度)=1 ですので、遠心力はm*R*ω^2 です。両極での重力加速度が g で、赤道での重力加速度が 0.8g ですから、赤道での遠心力は m*1g - m*0.8g = m*0.2g です。つまり、m*R*ω^2 = m*0.2g → ω^2 = 0.2*g/R だということが分かります（これで ω が分かった）。

さて次に、点Pでの重力（図の赤い矢印）の大きさを求めることにします。図で引力と書かれている矢印の終点（矢印の先っぽ）を点Q、重力の矢印の終点を点Rとします。すると、∠PQR = 90度－θ となります。一方、∠QPR はまだ分からないので、この角度をφとします。すると、三角形PQRの内角の和は180度ですから、∠PRQ=180度－∠PQR－∠QPR = 180度－（90度－θ）－φ = 90度 + θ－φ となります。

三角形PQRの内角が分かったので、正弦定理を使えば、
PR/sin(∠PQR) = QR/sin(φ) = PQ/sin(∠PRQ) → PR/sin(90度－θ) = QR/sin(φ) = PQ/sin(90度 + θ－φ) --- (1)
という関係式が得られます。三角関数の加法定理を使えば、
sin(90度－θ) = sin(90度)*cos(θ) - cos(90度)*)*sin(θ) = cos(θ)
sin(90度 + θ－φ) = sin(90度)*cos(θ－φ) + cos(90度)*)*sin(θ－φ) = cos(θ－φ) = cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)
となります。したがって式(1)は
PR/cos(θ) = QR/sin(φ) = PQ/{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)} --- (2)
となります。PRとQR とPQは力の大きさで、PR = m*g'、QR = m*R*cos(θ)*ω^2、PQ = m*g ですが、ω^2 = 0.2*g/R ですから、QR = 0.2*m*g*cos(θ)です。したがって式(2)は
m*g'/cos(θ) = 0.2*m*g*cos(θ)/sin(φ) = m*g /{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)}
となりますが、mはどの項にもあるのでこれを消すと、
g'/cos(θ) = 0.2*g*cos(θ)/sin(φ) = g /{cos(θ)*cos(φ) + sin(θ)*sin(φ)}
となります。この関係式から、φを消して、g'をgとθを使って表せば答にいきつきます（後はご自分で）。θは0～180度の範囲ですが、北半球（0≦θ≦90度）でも南半球（90度≦θ≦180度）でも、緯度(90度-θ)が同じなら、g'は同じですので、北半球だけ考えて、sin(θ)＞０、cos(θ)>0として計算すれば良いと思います。

参考URL：http://www.s-yamaga.jp/nanimono/chikyu/juryoku-0 …

No.1 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/02/19 21:06

この前作って回答したら、質問自体が削除されちったやつ。

＾＿＾；

今、忙しいんです。
ごめんなさい。
ここからヒントを得て下さい。ｍ（＿　＿；）ｍ
両極Gからひーてますぅ。＾＾；

貼り付ければひまわりで作動します。

「緯度を入力して下さい。」と、尋ねる。
緯度は、それ。
「緯度は、｛緯度｝度です。」と、表示。
「　」を、表示。

緯度を、度からラジアン。
緯度は、それ。
緯度を、表示。

度数は、COS（緯度）
「コサインは、｛度数｝です。」を、表示。
「　」を、表示。

地球半径は、６３７８１５０

観測地半径は、地球半径*度数。
キロ変換は、観測地半径/１０００
「観測地半径は、｛観測地半径｝（ｍ）です。」を、表示。
「観測地半径は、｛キロ変換｝（ｋｍ）です。」を、表示。
「　」を、表示。

’円周計算
円周は、（観測地半径*２）*３．１４１５９２６５
「円周は、｛円周｝ｍです。」を、表示。
円周キロは、円周/１０００
「円周は、｛円周キロ｝ｋｍです。」を、表示。
「　」を、表示。

’速度計算
時間は、２４*６０*６０
「１日は、｛時間｝秒です。」を、表示。
速度は、円周/時間
「速度は、｛速度｝（ｍ/ｓ）です。」を、表示。
時速は、（速度*３６００）/１０００
「時速は、｛時速｝（ｋｍ/ｓ）です。」を、表示。
「　」を、表示。

’遠心力計算。
遠心力は、（１*速度*速度）/観測地半径
「遠心力は、｛遠心力｝ｍ/ｓ＾２です。」を、表示。
「　」を、表示。

’重力
重力は、９．８３

’重力補正。
計算結果は、重力－遠心力
「計算結果は、｛計算結果｝ｍ/ｓ＾２です。」を、表示。