質問です。傾角θの斜面上を、これと動摩擦係数μをもつ物体が斜面に沿い上方に、ある速度で投げ出された。

質問です。傾角θの斜面上を、これと動摩擦係数μをもつ物体が斜面に沿い上方に、ある速度で投げ出された。物体が斜面に沿って距離sすべりあがったとすると、重力及び摩擦力が物体にした仕事は正か負か、その大きさはいくらか。お願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/16 10:14

摩擦力は、動いている物体を止めた（力の方向は、運動の方向と逆）のだから、した仕事は「負」です。

重力は、これも力の方向が運動の方向と逆なので、した仕事は「負」です。

この辺の表現のしかたは、いつもしっくりきません。これでよいのかな？　とにかく、「その力がした仕事」は、「力の方向」に動けば「正」、逆方向なら「負」ということのようです。まあ、力が加速する方向ならば「正の仕事」、ブレーキをかける方向ならば「負の仕事」ということです。
（従って、「斜面を滑り降りる」場合には、摩擦力は「負の仕事」、重力は「正の仕事」をします）

ここでは、物体に働く力は、上方向を「正」として
・斜面下方向の重力：-mg*sinθ
・斜面下方向の摩擦力：-μmg*cosθ

なので、働く加速度 a は、F=ma より
　a = -g*sinθ - μg*cosθ　　　　　　①

斜面方向の初速度を v0 とすると、速度は
　v(t) = v0 - (g*sinθ + μg*cosθ)*t　　　②

斜面方向に登る斜面上の距離 x は、投げだした位置さを 0 として
　x(t) = v0*t - (1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)*t^2　　　③

②より、最上点では v(t)=0 となるので、その時刻は
　t = v0/(g*sinθ + μg*cosθ)
このときの距離③が s なので
　s = v0*v0/(g*sinθ + μg*cosθ) - (1/2)(g*sinθ + μg*cosθ)*v0/(g*sinθ + μg*cosθ)^2
　　= (1/2)*v0^2 / (g*sinθ + μg*cosθ)

よって、上った鉛直高さ h は
　h = s*sinθ = (1/2)*v0^2 *sinθ / (g*sinθ + μg*cosθ)

物体は、最初 v0 の速さで運動していたものが最上点で静止しますので、運動エネルギーの変化は
　ΔEk = 0 - (1/2)m*v0^2 = -(1/2)m*v0^2　　　　　　　　④
です。これが「物体が失ったエネルギーの総量」＝「力がした「負の仕事」の総量」です。

このうち、重力が奪ったエネルギー（＝重力がした「負」の仕事）の大きさは、鉛直高さの増加分で
　Eg = mgh = (1/2)*m*g*v0^2 *sinθ / (g*sinθ + μg*cosθ)
　　　= (1/2)*ｍ*v0^2 *sinθ / (sinθ + μ*cosθ) 　　　　　　　　⑤

摩擦力が奪ったエネルギー（＝摩擦力がした「負」の仕事）の大きさは、「力がした「負の仕事」の総量」④から、⑤を差し引いた
　Em = (1/2)m*v0^2 - Ep
　　= (1/2)*ｍ*v0^2 *(1 - sinθ) / (sinθ + μ*cosθ) 　　　　　　　⑥
です。