コインを投げて表・裏に「偏って出る」ブレの可能性確率を求めたいのですが、どういう算式で出せますか?
コイン確率の質問はOKWEBに多くありましたが、連続または一定の順序で出現する質問ばかりでした。
そうではなく、ここではコイン投げを回数多くやれば究極はどちらも必ず50%の平均出現率に収束する事は判るのですが、ここでは試行途中において表・裏のどちらかに偏ってブレて出現する現象がどのくらいの確率で発生するかという可能性です。
判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。
そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。
同様にプラス20点に達する可能性は?・・・このようにプラス50点に達する可能性の確率はどうなりますか?
前提が抜け落ちていましたが、『100回思考したとして』その確率は?という前提が必要だと思いますが、これを1,000回を試行した時ではどういう可能性になるか?
という具合に試行回数によって変わってくるとも思いますが、この考え方は違っていますか・・・?
きっと天文学的数字だと思いますが、100回試行中100回表が出る確率はどのくらいの可能性があるのですか?可能性ゼロではないですよねえ。試行回数を増やしこれを1,000回試行中ではどうなりますか?
これをどういう算式で求められるか、是非ともお教え下さい。
お願いします。
No.7
- 回答日時:
まず、基本的に誤解があるようですが、試行を増やしていくと
(表が出た回数)/(試行回数)
はどんどん50%に近づいていきますが、試行を増やせば中央辺りに
いる確率はどんどん減っていきます。具体的な計算は#3さんが
書いておられる式の和になります。ここで^は累乗を表し、Cは
組み合わせの記号でnCr=n!/r!(n-r)!です。
100回振って表が41回から59回までの確率は
1/2^100*Σ[k=41,59]100Ck
で計算することになります。それ以外にいる確率(質問の回答)は
この数字を1から引けば求まります。以下、ある程度数字を書いておきます。
100回で10以上離れる 5.7%
100回で20以上離れる 0.008%
1000回で10以上離れる 54.8%
10000回で10以上離れる 84.9%
100000回で10以上離れる 95.2%
なお、これぐらいの計算になると通常の計算機では対応つかないと思います。
対数とプログラムに頼ることになりますが、概算する方法としてn回試行の時、
95%の確率で中央値から±√nにいます。10000回振れば±100回にいる
(つまり4900から5100回)の確率が95%、また、99.7%は±3(√n)/2
つまり10000回なら4850回から5150回が目安になります。
話を最初に戻すと95%の確率で出る範囲が
試行回数 範囲 割合
100 40-60 40%-60%
10000 4900-5100 49%-51%
1000000 499000-501000 49.9%-50.1%
試行回数を増やすと割合はどんどん50%に近づきますが、出そうな範囲は
どんどん広がっていきます。
No.6
- 回答日時:
No. 4 のものですが、勘違いをしていました。
100回試行したときに、ちょうどプラス10(110点)、あるいはマイナス10(90点)になる確率をお尋ねだったんですね。No. 5 の方のように計算するのでしょう(No. 5 の計算を検算してはいません)。
確率過程論、あるいはランダムウォークの理論では無限回試行して、そのうちにある限界を突破する(酔っ払いが溝に落ちる)のはいつか、を計算するような理論です。もちろん、確率事象ですので、あくまで統計的にしか結果は出ません。10歩後にいきなり落ちることもあるし、右-左-右-左を繰り返して永久に落ちないこともあり得ます。しかし、統計的にはちょうどN歩後(またはN歩後まで)に落ちる確率がどの程度かが計算できます。
No.5
- 回答日時:
>判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。
>そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
>何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。
100点からプラス10点になるには、マイナス1点が90回必要。
100点からマイナス10点になるには、マイナス1点が110回必要。試行回数が100回なので、マイナス10点になる確率はゼロ。
って事ではなくて、
100点から初めて100回試行して110点で終る確率
100点から初めて100回試行して90点で終る確率
って事だと思うが違うかな?
単純に考えるべし。
最終点数は「0点、2点、4点…196点、198点、200点」である事に注意。
110点って事は「表55回、裏45回」、同様に90点って事は「表45回、裏55回」である事に注意。
100点から初めて100回試行して0点になる確率は、1/2の100乗。
では、100点から初めて100回試行して2点になるって場合は?
「1回目のみ表で、残り全部裏」
「2回目のみ表で、残り全部裏」
…
「99回目のみ表で、残り全部裏」
「100回目のみ表で、残り全部裏」
の100通りあるって事。
「全部の組み合わせ」は「2の100乗」ある。つまり「どこか1回だけ表になる組み合わせの個数/(2の100乗)」が「2点になる確率」って事。
では4点になる確率は?
同じように
「1回目と2回目が表で、残り全部裏」
「1回目と3回目が表で、残り全部裏」
…
「1回目と99回目が表で、残り全部裏」
「1回目と100回目が表で、残り全部裏」
…
「2回目と3回目が表で、残り全部裏」
「2回目と4回目が表で、残り全部裏」
…
「2回目と99回目が表で、残り全部裏」
「2回目と100回目が表で、残り全部裏」
…
「98回目と99回目が表で、残り全部裏」
「98回目と100回目が表で、残り全部裏」
…
「99回目と100回目が表で、残り全部裏」
のように「100回のうちどこか2回が表になる組み合せの個数」を求める。
つまり「100回のうちどこか2回が表になる組み合わせの個数/(2の100乗)」が「4点になる確率」って事。
もう判りますよね。
「90点になる確率」は「100回のうちどこか45回が表になる組み合わせの個数/(2の100乗)」って事
「100回のうちどこか1回が表になる組み合わせの個数」
「100回のうちどこか2回が表になる組み合わせの個数」
「100回のうちどこか45回が表になる組み合わせの個数」
は、順列組み合せの式で求めましょう。
なお「90点になる確率」と「90点以下になる確率」は違うので注意。上記のは、あくまでも「100回投げて90点ぴったりで終る確率」なので。
問題の設定が間違っていたみたいです、すみません。
最初の持ち点は100点ではなくて、0点でした。
そして、+20点側や-20点側にブレる確率はどうかというものでした。
でも、持ち点が100点から120点になる確率と考えればこれは同じですね。
No.4
- 回答日時:
> 判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。
> そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
> 何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。
この問題は確率過程論で扱います。大昔に読んだので忘れてしまいましたが、かなり高度の数学を用います。簡単な算式はないと思います。
カジノにおける「つき」もこの理論で扱えたと思います(大勢がルーレットで賭けているとき、全体を見れば+-均等だが、個々に見ると儲けている人も負け続けている人もいる、という問題を扱います)。
ランダムウォーク(酔歩)というキーワードで探しても見つかるかも知れません。狭い道で両側に溝があるとき、酔っ払いが歩いていて溝に落ちる確率を計算するような理論です。
ありがとう御座います。へえぇ、面白いですねえ。
酔っ払いのランダムウォークですか!
引き込まれます。
私のような数学の素人には難しそうですね。
何とかできるだけ簡単に近似値が出そうな式はないのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
コインをn回投げてのその内m回表が出る確率は次の式です。
nCm/2^n
この式で計算すると、100回中50回表が出る確率は 7.95%、40回表が出る確率は 1.08% です。
EXCEL だと =COMBIN(n,m)/2^n (n,m は実際の数値)で計算できます。
これは確率なので、m を0からnまで計算して足すと1になります。
いろいろ試してみてください。
ありがとう御座いました。
nCm/2^n ですか!?
このうち、「C」と「^」はなんでしょうか?
すみません素人なもので・・・
これで+-の加減点数を付け続けたとき、どちらかに点数が片寄って+N点に達するときの確率が出ますか?
No.2
- 回答日時:
具体的には、コインを100回投げた時、表が60回以上出る確率は?
1000回投げた時、600回以上出る確率は?
なんてことを知りたい、ということですか?
二項分布、正規分布、という単元を学べば明確になります。
この回答への補足
いいえ違います。
質問の要領が悪かったかもしれません、すみません。
表・裏は平等に平均の出目確率は50%ですね。
しかし、実際にはこんなにうまく平均して出ませんね。
現実は相互にどちらかに片寄って出ながら長~くやれば結局は平均は半々になります。
ここでは、試行中に一時的にどちらかに片寄って出る可能性の確率を求めています。
試行を繰り返えしていると「表・裏」がどちらも出ます。
このとき、表を+1点、裏を-1点とカウントしたとき、この加減を繰り返しながら瞬間的に、+側か-側に片寄る可能性を知りたいのです。
例えば、+20点に到達する、又は-20点に到達する可能性の%です。
よろしくお願いします。
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