No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#4 です。
切れぎれですみません。最後は収束性ですが、
Am = {2^s(m-1)/m!}*A0 > ただし、s(i) は整数 1~i の和
というのでは、原点以外で発散するのが明らかです。
やっと、#3 さんの結論にたどりつきました。
残っている領域に目を転じましょう。
f'(x) = f(x)
は指数関数ですからたとえば、
f'(x) = f(x/2)
ですかね。
チャレンジしてみてください。
No.4
- 回答日時:
#2 です。
係数を試算してみました。その要約だけ.... 。
>f(x) を級数表示。
> f(x)=A0 + A1*X +A2*X^2 + .... + Am*X^m + .....
>
> f(2x)=A0 + 2*A1*X +4*A2*X^2 + ... + (2^m)*Am*X^m + .....
> f'(x)=A1 + 2*A2*X + .... + A_m+1*(m+1)X^m + .....
>この二式にて、X^m の係数を等置。
試算結果は、
Am = {2^s(m-1)/m!}*A0
ただし、s(i) は整数 1~i の和
でした。
合ってるか否か、チェックしてください。
初等関数には見かけない級数のようですね。(指数関数よりも勾配が急になる感じ)
No.3
- 回答日時:
結論から言えば,f '(x) = f (2x) を満たす関数 f (x) は
求まります。
まず,f '(x) の存在より f (x) は(1回)微分可能で,
f '(x) が微分可能な f (2x) に一致するのですから,
f '(x) は微分可能,すなわち f (x) は2回微分可能となります。
数学的帰納法により,結局
f (x) は無限回微分可能で,特に f ^{(n)} (x) は連続
となります。
f '(x) = f (2x) の両辺を次々と微分していくと
f '' (x) = 2f '(2x) = 2f (4x)
f ^{(3)} (x) = 2*4f '(4x) = 8f (8x)
・・・
f ^{(n)} (x) = (2^{n-1}) * (2^{n-2}) *・・・* 2 * f ({2^n}*x)
= 2^{(1/2)n(n-1)} * f ({2^n}*x)
となります。 x を {2^(-n)}*x に置き換えると
f (x) = 2^{-(1/2)n(n-1)} * f ^{(n)} (x/{2^n})
が得られます。
この関係式は任意の自然数nに対して成り立ち,各関数は
すべて連続ですから,n→∞としてもそのまま成り立って
f (x) ≡0 (定数関数)
に限られることがわかります。
(注) f ^{(n)} (x) は連続ですから,
lim_(t→0) f ^{(n)} (t) = f ^{(n)} (0)
が成り立ちます。
No.2
- 回答日時:
>f '(x)=f(2x)
>って解けるのでしょうか?
f(x) を級数表示にしてみたらどうでしょうかね。
f(x)=A0 + A1*X +A2*X^2 + .... + Am*X^m + .....
とおいてみましょう。
f(2x)=A0 + 2*A1*X +4*A2*X^2 + ... + (2^m)*Am*X^m + .....
f'(x)=A1 + 2*A2*X + .... + A_m+1*(m+1)X^m + .....
この二つの式にて、X^m の係数を等置してみるのです。
A0 を決めれば、ほかの係数はすべて決まりそうです。
既知の関数になるのでしょうか?
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