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レポート課題なのですが、以下の問題の証明の仕方を教えてください。
問、Q(有理数全体の集合)の2つのコーシー列{an},{bn}について、
(1){an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
(2){an-bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
(1)は、{an}→a、{bn}→bを仮定して、任意の実数εに対して、
自然数NaとNbで、
n>Naを満たす任意のnは、|an-a|<ε/2
n>Nbを満たす任意のnは、|bn-b|<ε/2
が存在する。
そこで、
N=max(Na、Nb)
とすれば、
n>Nを満たす任意のnは|an-a|<ε/2と|bn-b|<ε/2を
満たす。
2式を足すと、
|(an-a)+(bn-b)|≦|an-a|+|bn-b|<ε/2+ε/2=ε
となる。
分かりにくいのですが、こんな感じでいいのでしょうか。
また、「Qの中の」という部分が証明できていない気がします。
(2)は、2式を引いても、不等式の右辺は変わらないと思うのですが、
(1)と同様に考えればいいのでしょうか。
何かアドバイス等あれば、教えてください。おねがいします。
No.3
- 回答日時:
Q(有理数体) の完備化 R(実数体)は通常コーシー列を用いて構成されるので、コーシー列の収束先 a, b ∈ R を用いて議論するのは多分適切でないのでしょう。
その意味で、実数体 R を構成するまでは Q の距離 d : Q×Q -> Q も有理数を値域として考える必要があるのかもしれませんね。
![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/common/profile/M/noimageicon_setting_04.png?e8efa67)
No.2
- 回答日時:
No.1 の方の回答と重なりますが……。
> (1)は、{an}→a、{bn}→bを仮定して、任意の実数εに対して、
この仮定はまずいです。
Qの中ではコーシー列が収束することは保障されていません。
ついでにいえば、εを実数からとってくるのも、問題かもしれません。
基本的には、(1)の証明の絶対値の中が an - am (など)になるだけですが。
「Qの中の」というのは、単に、an + bn という数列の項が、Qの要素だといっているだけだと思います。
ご参考まで。
a(0) = 2
a(n + 1) = (a(n) + 2 / a(n)) / 2
という数列は、Qの中のコーシー列ですが、Qの範囲では収束しません。
(√2 に収束します)
No.1
- 回答日時:
確認したいんだけど, 「コーシー列」ってどう定義しています? 普通は
{an}がコーシー列 if ∀ε∃N∀m, n ≧ N |am - an| < ε
くらいだと思う (< かな? ≦ かな?) けど, この定義だとすると「コーシー列が収束する」という性質は使わなくていい. というか, コーシーは確かに収束するけどその収束先がコーシー列を考えている距離空間の要素であるかどうかはわからない.
でおまけ:
不等式を引き算しちゃダメ.
Q は四則演算について閉じていて, しかも, {an} がコーシー列なら, {-an} もコーシー列.
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