なんであんなに早いの？

こんにちは。
今年受験の中３なのですが、どうしても疑問に思った事があります。
なので、質問させてもらいます。
それは、平方根の勉強中の事です。みんなは塾に行ってますが、僕は塾などに行かず独学で勉強しています。
平方根の　a√bの形を√aの形に直す問題は簡単に出来ますが、
例
　3√4 は　3×3＝9 　　9×4 よって　√36

というのは簡単ですが、
問題はこの逆の　√aをa√bの形に直すということです。
先生は、素因数分解をすれば出すことが出来ます。とか言ってましたが、大変です。
ある日、先生が「順番に当てます」とか言ってみんなに当てていましたが、みんなは、√48は√108 は？の問題に答えをすぐに答えられていました。
しかし、なぜあんなに早いのでしょうか？頭の中で素因数分解するとしてもはやすぎます。なにかの裏技でしょうか？それとも、覚えてる？

No.1 ベストアンサー 回答者： shinkun0114 回答日時： 2007/05/13 10:54

この手の問題は、ルートの外に出す「平方数」をいかに見つけるかがポイントです。

平方数を簡単に列挙してみますと、
　2×2＝4
　3×3＝9
　4×4＝16
　5×5＝25
　6×6＝36
素数に比べると確実に少ないです。
素因数分解をするのではなく、平方数で割りきれるかを考えていけば
意外と簡単に見つかります。

さて、問題をある程度こなしていくと、例に挙げられている「48」「108」は
おなじみの数字であることがわかってきます。
48は3×16ですし、108は3×36です。

No.13 回答者： momochu 回答日時： 2007/05/15 10:02

このぐらいの問題なら

a√bのbに入るのは2,3,5,7ぐらいしかないと思います。
48,108は5の倍数ではないのは明らかなので、2,3,7で割ってみましょう。
割った答えに必ず、4,9,16,25,36,49,64,81のどれかが出てくるはずです。121,136ぐらいが出てくる可能性もあるかもしれませんが。
先に2,3,5,7で割ると速く計算できますよ。
2,3,5,7でダメだったら、11,13とやってみてくださいね。それでダメだったら、素直に素因数分解してみましょう。

No.12 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/05/14 11:06

特にタネはありません。

私は、４８が１６の３倍であること、１０８が３６の３倍であることを、６０年以上前から暗記しています。
若いうちに、どんどん暗記しましょう。
なお「早い」は間違いです。「速い」と書いてください。国語もがんばって！

No.11 回答者： ringouri 回答日時： 2007/05/13 18:38

他の人も指摘しているように、

どうせ、そのような「くくり出し」が出来る√であれば、中の数字は4（2x2）、9(3x3)、16（4x4）、25（5x5）、...で割り切れるはずですので、
覚えなくても、ちょっと練習すれば早くできるようになりますよ。

48=16x3 と気付くと、ちょっと早いけれど、48=4x12=4x4x3でも48=6x8=2x3x2x4=4x4x3でも、いいと思います。なお、9の倍数の見つけ方は覚えておいて損はないはずです。
あせらずにやりましょう。

塾で変な小手先の技術を覚えるのは、目先の「受験」のためにある程度仕方ないことなのでしょうが、数学の本質とは無縁です。

No.10 回答者： 2hen6 回答日時： 2007/05/13 15:05

No.9さんの４の倍数、９の倍数を見つける方法に加えて、５×５=２５の倍数を見つける方法を紹介しておきます。

数字の下２桁が２５の倍数なら、全て２５で割り切れる。
→下２桁が００、２５、５０、７５なら、２５で割り切れる。
例…１２５、２００、３７５、４５０、…

√の外に２、３、５を出すこれらの方法をしっておくと、素因数分解するよりかなり早く計算できます。

さらに、
２５の倍数→９の倍数→４の倍数
の順に√の外に出せる数を探していけば、３つの中で探すのが最も面倒な４の倍数を、可能な限り小さい数字で計算することができます。

そしてこれらの方法を調べ終わった後、問題としてなかなかでてこないですが、それ以外の数
(７×７=４９、１１×１１=１２１など)
が外に出せないか確認すれば良いです。

ただ、ある程度計算練習を繰り返すことで、勝手に覚えていくこともあるので、計算練習をしっかりやったほうが良いです。そのほうがスピードも上がります。

おまけ
２５の倍数を２５で割るのが面倒なら…
下２桁を取った数字×４＋下２桁÷２５
で計算できます。

例…２２７５÷２５　　

→２２×４＋７５÷２５＝８８＋３＝９１

下２桁÷２５は(４種類しかないですし、)すぐに計算できると思うので、割り算よりも掛け算のほうが得意な方なら使ってみてください。

No.9 回答者： cyber-poem 回答日時： 2007/05/13 13:16

素因数分解できるかどうかという問題で、ある自然数を二乗した数で割れれば√の外に出れるんですよね。

ここで、108が9で割り切れる数っていうのはご存知ですか？

3^2=9で割り切れる数は各桁の合計が9で割り切れれば元の数も割り切れます。
例
108 この数の各桁をたす1+0+8=9 ←この数は9で割り切れるので
外に出ます。

2^2=4で割り切れる数は下2桁が4で割れればその数は4で割れます。

No.8 回答者： yuu111 回答日時： 2007/05/13 12:49

こんにちは

覚えてはないですけど、意識はしてますよ。
数字は、１，２，３，４，５・・・
と並んでますよね。
これは、平方根にすると、√の中で１，４，９，１６，２５・・・
と並んでます。
これがすらっと出てくるようにするだけです。

まだ最初のほうを習っているようなので気にすることはないと思いますが、差の出るところなので、たくさん練習しましょう
素因数分解も慣れれば頭の中でできますよ
練習のさいは必ず、早くできるように工夫する、書いていることを減らせないか検討する、でも間違えないということを意識してください

No.7 回答者： saru11 回答日時： 2007/05/13 12:01

練習量の違いではないでしょうか．

何度も練習すれば，理解もより深まるでしょう．
また，解いた事のある問題なら，簡単に答えれるでしょう．

一応，私の解き方を紹介します．
例えば，108です．

方法1
小さい数字(素数)から順に割っていくと，
108　＝　2×54 ＝　2×2×27 ＝　2×2×3×9 ＝　2×2×3×3×3
となります．
全く検討がつかないときは，私もこの方法を使います．

方法2
適当な数字で割ってみましょう．
適当に，9にしましょう．そうすると，
108　＝　9×12
となります．
この9×12の9と12は，まだ素因数分解できるので，
同時に2つを分解します．
9×12　＝　3×3　×　3×4 ＝　3×3×3×2×2
方法1に比べ，並列的に考える分，少し速いかもしれません．

No.6 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/05/13 11:36

>√48は√108 は？

先を争うような「問題」じゃありませんのでご安心を。
「素因数分解」とはいっても、テストならとんでもない大きな素数は登場させ難いでしょうし.... 。

小さな方からコツコツと割っていくに限ります。
(例)
　48 ( 2
　24 ( 2
　12 ( 2
　6 ( 2
　3

No.5 回答者： guuman 回答日時： 2007/05/13 11:16

別に早くできても

将来いいことがあるわけではないので心配無用
試験でも全く有利にはならない
普通の時間で確実に素因数分解できればよい
曲芸を自慢するか自己満足のためだけなので気にしないで
先に進め

π=3.14159265358979・・・
e=2.18281828・・・
√2=1.41421356・・・
√3=1.7320508・・・
√5=2.2360679・・・
loge(2)=0.・・・
loge(3)=0.・・・

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