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群数列 |1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|21,・・・ において
(1)第n群の最初の数をnを用いて表せ
(2)第n群に含まれる数の和を求めよ
(3)351は第何群の何番目の数か

群数列 |1|1,2|1,2,3|1,2,3,4|1,・・・ において
(1)この数列の第100項を求めよ
(2)初項から第100項までの和を求めよ

群数列 1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,・・・ において
(1)第15群の4番目の数を求めよ
(2)第n群に入る数の和を求めよ
(3)1000は第何群の何番目の数か
  
どれか1つでもいいので、
できれば細かいところまで詳しく解き方を教えてください。
どうしたらいいのか見当もつきません...

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A 回答 (4件)

群数列は普通の数列と比べて何が難しいのか?


ということを、少し立ち止まって考えてみましょう。
第1問の(1)が「第n項を求めよ」なら易しいのに
「第n群の最初の数を求めよ」なんていうからややこしい。
第2問の(1)が「第7群の第5項を求めよ」とかなら易しいのに(5ですね)、
「第100項を求めよ」と来るから難しい。
第3問も第1問と同様ですね。

普通の数列であれば「全体を通して第■項」という表現しか登場しないのに、
群数列ではこれに加えて「第●群の第▲項」という表現を扱う必要があるために、
その分だけ難しく映ってしまうわけです。
ですから、群数列を得意にしてしまう秘訣は、
「『第●群の第▲項』⇔『全体を通して第■項』」
という相互変換に習熟することです。
言わば「ローカル番号」と「通し番号」の言い換えですね。

ここで重要なことは、
「この変換はあくまで『番号』と『番号』の間の言い換えであり、
その項の中身の値は関係ない」
ということです。
まずは項の中身を無視して番号に集中し、中身はその後で考えれば良いのです。
群数列を苦手とする人は、この辺りをごちゃ混ぜにして、
自分でわざわざ問題を難しくしてしまう傾向があります。

さらに具体的なコツを述べるとすれば、
いきなり『第●群の第▲項』を扱おうとすると
●と▲の2つを同時に考えないといけなくなるので、
まずは『第●群の末項』について考えることをお勧めします。
すなわち、
『第●群の末項』⇔『全体を通して第■項』
という変換だけを最初に考えるわけです。

第3問を使って実際にやってみましょう。
「まずは中身を無視する」ということを強調するために、
各項を「・」で表すことにします。
・|・・|・・・・|・・・・・・・・|
例えば第4群の末項の通し番号は、
「第1群から第4群までの項数の和」に等しく、
第(1 + 2 + 4 + 8)項 = 第15項となることが分かります。
一般に、各群の末項は
通し番号が気持ち良く求まることが多いのです。
鍵を握っているのは「各群の項数」であり、これを書き並べると
1個, 2個, 4個, 8個, 16個, ……
となりますが、これ自体が1つの数列をなしています。
そして、もとの数列の第k群の末項の通し番号を知りたければ、
この新しい数列の第k項までの和を取ってやれば良いことが分かります。
この場合、「初項1・公比2の等比数列」であり、
和は (2^k) - 1 となりますから、
『第k群の末項』⇔『全体を通して第 (2^k) - 1 項』……(*)
という変換が達成されました。

さて、ローカル番号と通し番号の変換ができたところで、
ようやく中身の値(一般項)を考慮に入れます。
このとき、第1問と第3問のように、
通し番号のほうが一般項を求めやすい場合もあれば、
第2問のようにローカル番号のほうが役に立つ場合もあります。
この違いはどこから来るのかというと、
第1問や第3問ではいったん仕切り棒を取り去ってしまったら、
どこに仕切り棒があったのか分からなくなってしまいますね。
これに対し第2問は、かりに仕切り棒が問題に書かれていなくても、
自分で仕切り棒を書き加えることができるはずです。
それはともかく、いま取り組んでいる第3問は
通し番号で第p項の値はpそのものですからラクちんです。

準備完了です。

(1)第15群の第4項の値を求めよ。
まずはローカル番号を通し番号に変換します。
「第15群の第4項」を言い換えると、
「第14群の末項のさらに4項あと」となります。
(*)を用いると「第14群の末項」⇔「通し番号で第 (2^14) - 1 項」となりますから、
さらにその4項あとは [(2^14) - 1] + 4 より、第16387項です。
したがってその値は16387です。

(2)第n群に入る数の和を求めよ。
第n群は項数2^(n - 1)、公差1の等差数列ですから、
あとは初項と末項を求めれば計算できます。
第n群の初項は「第(n - 1)群の末項の次」であり、通し番号では
[2^(n - 1) - 1] + 1より第2^(n - 1)項です。したがってその値も2^(n - 1)です。
同様にして、第n群の末項は(2^n) - 1となります。
以上より、第n群に入る数の和は「(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2」により
[2^(n - 1) + (2^n) - 1][2^(n - 1)]/2 となります。
n = 3, 4あたりで検算してみてください。

(3)1000は第何群の何番目の数か。
これが「1000は通し番号で第何項か」なら易しく、第1000項です。
あとはこれをローカル番号に変換するだけです。
ある群の末項にぴったり一致するとは限りませんから、
まずは適当に試してみましょう。
(*)より、第10群の末項なら (2^10) - 1 で第1023項、ありゃ、行き過ぎた。
その前の第9群の末項なら第511項。
というわけで
「第1000項」
⇔「第511項のさらに489項あと」
⇔「第9群の末項のさらに489項あと」
⇔「第10群の第489項」
となります。
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この回答へのお礼

考え方とかまで詳しく教えて下さってどうもありがとうございます。
とても分かりやすくて助かりました。
数列はとても苦手なんですが、自分でちゃんと解けるよう頑張ります。

お礼日時:2002/06/29 14:29

〔1〕


(1)
この群数列は、奇数の数列
 {a_m|a_m=2m-1,m∈N}
を自然数の数列の個数に区切ったものです。第(n-1)群までに
 Σ[K=1~n-1]k = n(n-1)/2
個の奇数が含まれます。よって、第n群の一番最初の数は、
 n(n-1)/2+1
番目の奇数ですから、
 2{n(n-1)/2+1}-1 = n(n-1)+2 = n^2-n+1 … (答え)
(2)
第n群に含まれる数は、初項がn^2-n+1で公差が2の等差数列の初項から第n項までです。よって、
 n{(n^2-n+1)+(n-1)2/2} = n^3 … (答え)
(3)
351が第x群の数とすれば、
 x^2-x+1 < 351 < (x+1)^2-(x+1)+1
 ∴ x^2-x-350 < 0, x^2+x-350 > 0
 ∴ (-1+√1401)/2 < x < (1+√1401)/2
 ∴ 18.21… < x < 19.21…
 ∴ x = 19 (∵x∈Z).
第19群の最初の項は、19^2-19+1=343であるから、(351-343)/2=4より、351は、
 第19群の4番目の数 … (答え)

【考え方】
まず、群数列の成り立ちを認識します。第2問目の場合、第n群は、自然数の数列の初項から第n項までを含みます。第3問目の場合、自然数の数列を初項1、公比2の等比数列で区切っています。
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(1)まず、他の群と比較して何か法則性があるかどうかじっくり考えてみると、


     『第n群にはn個の項が含まれる』…*
という法則が成り立っています。
 
 次に、しきり棒||を外した時どんな数列になっているか考えます。すると、これは初項1、公差2の等差数列ですね。従って、仕切り棒をとったとき一般項a_nは
   『a_n=1+(n-1)・2=2n-1』…**
と表せます。
この二つに注目して考えればよいのです。
 
 本題に移ります。たとえば、第4群の最初の数は何かを求める前に、『第4群が仕切り棒をとったとき何項目か?』を求めてください。それには*を使います。それは
    1+2+3+1=7(項目)
ですね。ですから、**をつかって
      a_7=2×7-1=13
と求まります。
 では、同じように第n群の最初の数は第何項目かを求めると、
1+2+…+(n-1)+1=(n-1)/2×{1+(n-1)}+1
=n(n-1)/2+1(項目)
となるので、**から
   a_n(n-1)/2+1=2×{n(n-1)/2+1}-1
=n(n-1)+2-1=n^2-n+1
が求める数です。
(2)第n群は(1)の結果と*を使うと
  『初項n^2-n+1、項数nの等差数列』ですね。
あとはもう簡単!等差数列の和の公式で計算して下さい。
(3)351はまず第k群に含まれるとします。すると、
 第k群の最初の数から第k+1群の最初の数までの間に存在するので、  ◎|○,…,○|●
  (1)の結果を使うと、
第n群の最初の数はn(n-1)+1だから、
   第k群の最初の数はk(k-1)+1 
第k+1群の最初の数は(k+1)k+1
となり、
      k(k-1)+1<=351<(k+1)k+1
⇔k(k-1)<=351<(k+1)k
これに適当に自然数kを当てはめていくと、k=19がこの不等式を満たしますね。これから、
   第k群の最初の数はk(k-1)+1=343  
で、分かりやすく実際に書くと
,|343,345,347,349,351,353,…,379|,
となるので、
     351は第19群の5番目の数だと分かります。
あと、他の問題も同じように
       
     『第n群の項数は何個か?』

     『どんな数列か?』
に着目すれば自分で解けると思います。頑張って下さい。
自分でやっても分からないところがあれば補足に質問して下さい。     
           
 
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この回答へのお礼

詳しく回答してもらってどうもありがとうございます。
『第n群の項数は何個か?』『どんな数列か?』 に着目ですか...
数列とても苦手なんですが自分でも解けるように 頑張ります。

お礼日時:2002/06/29 14:23

どれも第n群には、n個の要素が含まれているのですね。


ということは、第○項の要素は第□群に含まれているかを求めることがポイントです。
つまり、第n群の終わりがΣ_(i=1,2,...,n)i = (1/2)n(n+1)番目の要素であることに注目します。・・・[*1]

ちなみに、第n群のはじめは{Σ_(i=1,2,...,n-1)i}+1 = (1/2)n(n-1)+1番目です。これは第n-1群の終わりが(1/2)n(n-1)番目であることが[*1]から即座にわかりますから、改めて計算するまでもないです。
[第n群の終わりまでの項数をf(n)とすると、第n-1群の終わりまでの項数はf(n-1),第n群のはじめまでの項数はf(n-1)+1となります。f(・)の使い方もついでになじんでください。]

ということで、あとはこれをもとにがむばってほしいところです・・・解答ならばチャート式等で類似問題のものはあるはずですので。

ご自分で考えてみてもわからない等あればその旨書いてください。きっと誰か答えてくれます。(タイミングがあえば私も答えますが)
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 以上です。何か疑問点あれば補足してください。

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Q数学B 群数列の問題について

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1 | 3 5 7 | 9 11 13 15 17|19…

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●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
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結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
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結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
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共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
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(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
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私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
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Aベストアンサー

私自身、経営学部を卒業しましたが経済学部か経営学部で、学習する内容も違ってきます。特に、経済学部経営学科だと、理論や政策などの講義が多くなります。また、経営学部経営学科だと、より「実践的な内容を学習」するといった感じです。

 経営学と経済学は似たようなものですが、経済学は、「理論・政策・歴史」を中心に勉強します。「ミクロ経済学」「マクロ経済学」「経済原論」「財政学」など高校数学の知識が必要になります。経済学は、経営学と比べて数学関係の講義も多くなります。グローバルな問題に対して常に関わっていくのが経済学であり、家計や企業や政府といった単位で経済の仕組みを考えるのが経済学で、それに対して経営学は、経営者として企業をどう動かしていくのか考えるのが経営学です。経営・会計・流通・情報などに興味があるのだったら経営学部です。

 特に、ブランドや洋服に興味があるんだったら「流通論」や「マーケティング」が絡んでくるから経営学部でしょう。「マーケティング」では、企業の戦略や小売業・卸売業・メーカーが一体となって商品の在庫管理などをとりあげたりして、企業側の戦略や業務分析など現場と密接な関係を持った感じの講義がたくさんあります。将来、企業家を目指すのであれば、経済学より、実践的な経営学をお勧めします。特に、中小企業論や社会起業家論などのゼミを選択されると良いと思います。また、大学によっては起業家をよんできてセミナーをひらいたり、ベンチャービジネスをゼミ単位でやっている大学などもあるようです。

 経済学部は、公務員試験に向けた講義が充実しているから、金融や公務員などを目指す人にお勧めでしょう。経営学部は、流通やサービス・金融などを目指す人に向いていると思います。経済学部に比べて、経営学部は、「実務や現場重視」といった感じがあります。商学部は、経営学部に似ていますが、「会計」「流通」「マーケティング」の比重が高くなります。商学部と経営学部は、商学部・経営学部は、ほぼ同じようなカリキュラムで、似たような講義をしているところもかなりあります。

 リクルートの進学系サイトのURLを載せておきます。大学の教授や学生などの情報ものっているので、参考にされてはいかがでしょうか?

参考になれば幸いです♪

 

参考URL:http://www.shingakunet.com/cgi-bin/shingakunet.cgi

私自身、経営学部を卒業しましたが経済学部か経営学部で、学習する内容も違ってきます。特に、経済学部経営学科だと、理論や政策などの講義が多くなります。また、経営学部経営学科だと、より「実践的な内容を学習」するといった感じです。

 経営学と経済学は似たようなものですが、経済学は、「理論・政策・歴史」を中心に勉強します。「ミクロ経済学」「マクロ経済学」「経済原論」「財政学」など高校数学の知識が必要になります。経済学は、経営学と比べて数学関係の講義も多くなります。グローバルな問題...続きを読む

Q階比数列??

数列で、隣接する2項の差をとったらそれが新しく等比数列になる数列は階比数列というのでしょうか?また、あるとすればこのような数列の一般項を導くことは可能でしょうか?

Aベストアンサー

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単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

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こんばんは。
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お願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。

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C ゼロ以上の整数(ゼロと自然数): 0,1,2,3・・・
D 負の整数: ・・・、-3、-2、-1
E 整数 = C+D
F 正の小数、負の小数 (終わりの桁が存在する小数)
G 有理数: E+F + 循環小数(分母と分子を整数とした分数で表すことができる数)
H 無理数: √2、π、e など、循環小数ではない小数
I 実数: G+H
J 複素数: 実数a、bと虚数単位iを用いて a+bi の形になる数
K ベクトル
L 行列


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一度、受験日だけ、しかも一校の公立の受験日と
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基本的な質問で申し訳ありませんがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

殆ど前のお二方が言い尽くしていますが、軽く補足をしてみます。

国公立大学の一般入試は『分離・分割方式』と呼ばれる選抜方式を採用しています。
これは前期日程・後期日程に定員を分けて募集を行う方式です。
(前期は2月25日、後期は3月12日頃に行うのが一般的です)
国立大学は全て、前期・後期の両方(もしくは片方)しか募集しません。
(大半の公立大学も前期・後期での募集を行っています)
そして、一部の公立大学のみ「中期日程」という特別枠を設けています。
(3月8日頃に入試を行います)
なので、受験生は前期・中期・後期の計3回受験が可能となります。


ちなみに、国公立大学に出願する際、大学入試センターが発行する
『センター試験成績請求票』が必要となります。
(この請求票を願書に貼り付けます)
この請求票が前期・中期・後期日程用に1枚ずつしかありませんので
各日程で1校ずつしか出願できない仕組みです。


また最後になりますが、公立大学でも
・国際教養大学
・新潟県立大学
の2校のみ独自の日程で一般入試を行いますので、前期・中期・後期に加えて
受験することが可能です。

殆ど前のお二方が言い尽くしていますが、軽く補足をしてみます。

国公立大学の一般入試は『分離・分割方式』と呼ばれる選抜方式を採用しています。
これは前期日程・後期日程に定員を分けて募集を行う方式です。
(前期は2月25日、後期は3月12日頃に行うのが一般的です)
国立大学は全て、前期・後期の両方(もしくは片方)しか募集しません。
(大半の公立大学も前期・後期での募集を行っています)
そして、一部の公立大学のみ「中期日程」という特別枠を設けています。
(3月8日頃に入試を行...続きを読む

QベクトルAとBに垂直なベクトルCを求めるには?

ベクトルAとBがあり、その両方に垂直なベクトルを求めたいのですが、
どうすれば良いのでしょうか?
内積を計算した結果で0になるものが直行しているというのはわかるのですが・・・

Aベストアンサー

rei00 です。先程の回答違ってますね。alfeim さんがお書きの様に A, B の外積が求めるものですね。

で,あえて内積で頑張るなら次の様になると思います。A, B を三次元ベクトル A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) とし,求めるベクトルを X (x, y, z) とすると。

垂直=内積0より
 a1・x + a2・y + a3・z = 0
 b1・x + b2・y + b3・z = 0

これを解いて
 x = z・(b3・a2 - a3・b2)/(a1・b2 - b1・a2)
 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

今,求めるベクトルの大きさが決まっていませんので,x, y, z の比を使って,求めるベクトルは (a2・b3 - b2・a3, a3・b1 - b3・a1, a1・b2 - b1・a2) となります。

つまり A, B の外積になります。なお,3次元上の次元でも同様に出来ると思います(たぶん・・・)。


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