解析力学（一般化座標の独立性）について

最近、解析力学の勉強を始めた者です。
一般化座標を導入し、ラグランジェの方程式に行く途中で理解できないところがあります。
位置ベクトルをrとして、ｒdot=Σ(s=1～n)(∂r/∂qs)qsdot+∂r/∂t
となるところまでは理解できたのですが、この式をqkdotで偏微分すると、∂rdot/∂qkdot=∂r/∂qkとなることが理解できません。
ここでは、qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？
ここ一週間ほど考えているのですが、どうしても分かりません。どなたか教えてくれませんか？

No.3 回答者： connykelly 回答日時： 2007/05/24 08:14

＞qkとqkdtotの間には一般には微分方程式の関係があると思うのですが、それにもかかわらず、独立と考えてもよいのでしょうか？

微分方程式の関係というより微分の関係ですね。ここでよく考える必要があると思いますが、ある位置qkとその地点での速度qkは全く独立していますね。仮に独立していなければすべての位置は予めその位置での速度が決まっていることになってしまいます。。。
#1で言いましたように、物体の運動はある時刻 t での位置 x(t) と速度 v(t) を指定すれば完全に決まってしまいます。蛇足ながらすこし補足しますと、位置と速度を座標とする空間を考えたばあい、物体の運動状態はその空間の点の座標として表されることになります。この空間を相空間と呼びますが、運動はこの相空間内の軌跡（trajectory)として表されます。統計力学では位置と運動量からなる空間を位相空間と呼んでいます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。補足までつけていただき、感謝しています。
＞ある位置qkとその地点での速度qkは全く独立していますね。仮に独立していなければすべての位置は予めその位置での速度が決まっていることになってしまいます。。。
この部分は一応感覚で理解できるのですが、方程式を解いた後には、位置x(t)とv(t)速度の間には関係が出てきますよね？
はじめは独立と考えていたのに、最後には２つの間には関係が出てくる
のが、不思議で、まだ腑に落ちません。そもそも方程式を解くという作業の意味が分かっていないのかもしれません。
おそらく的外れなことを言っているのでしょうが、できればそういうことに関してもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2007/05/24 13:51

No.2 回答者： moumougoo 回答日時： 2007/05/24 01:02

面倒なのでdf/dt=f'とあらわします。

一般に
dr=(∂r/∂q)dq+(∂r/∂q')dq'+(∂r/∂t)dt---(☆)
で、(☆)をdtで割ると
r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂q')dq''+(∂r/∂t)---(☆☆)
となります。この場合(∂r/∂q')=0でrはq'を含まない式になっていることを意味します。
r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂t)---(☆☆☆)
(☆☆☆)では、あきらかにr'がq'を含んでいます。そこで、両辺をq'で微分すると
(∂r'/∂q')=(∂r/∂q)
です。なぜなら、(∂r/∂q)、(∂r/∂t)はq'を含まないからです。

意味的には
r=r(q,t)
Δr=r(q+q'Δt,t+Δt)
(∂Δr/∂q')=(∂r/∂q)Δt
となっているので、両辺をΔtでわって、与式をえるといったところでようか

この回答への補足

夜遅くに回答ありがとうございます。考える際、参考にさせていただきたいと思います。

補足日時：2007/05/24 13:53

No.1 回答者： connykelly 回答日時： 2007/05/23 23:06

＞qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？

運動方程式は時間の2階微分で、一回積分すると速度を初期条件に、もう一回積分すると位置が初期条件になりますから、運動はその各瞬間の位置と速度を決めてやれば定まるということになります。つまり、位置（一般化座標qk)とその速度(qkの時間微分)を独立変数に取り込んだものがLagrangianで、L(qk,qkdot,t)とかかれます、ということでいかがでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
qkとqkdtotの間には一般には微分方程式の関係があると思うのですが、それにもかかわらず、独立と考えてもよいのでしょうか？

お礼日時：2007/05/23 23:22